Zadanie 32, czerwiec 2016: matematyka podstawowa

Polecenie

Dany jest stożek o objętości $8\pi$ , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy $3:8$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Pole powierzchni bocznej: $P_b = 80\pi$

Rozwiązanie:

Niech $r$ – promień podstawy, $h$ – wysokość stożka.

Z warunku: $\frac{h}{r} = \frac{3}{8}$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie warunku na stosunek wymiarów stożka.

2 pkt

wyznaczenie promienia podstawy: $r = 4$ albo wysokości: $h = 1{,}5$ .

3 pkt

obliczenie tworzącej: $l = \sqrt{18{,}25}$

Umiejętności w zadaniu

, czyli

h = \frac{3r}{8}

.

Objętość: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = 8\pi$ , czyli $r^2 h = 24$ .

Stąd: $r^2 \cdot \frac{3r}{8} = 24$ , czyli $\frac{3r^3}{8} = 24$ , więc $r^3 = 64$ , zatem $r = 4$ .

Wysokość: $h = \frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{3}{2}$ .

Tworzaca: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ .

Alternatywnie: $l = \sqrt{4^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{18{,}25} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ lub $l = \sqrt{16 + 2{,}25} = \sqrt{18{,}25}$ .

Pole powierzchni bocznej: $P_b = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = 2\sqrt{73}\pi$ .

WYJAŚNIENIE: Klucz CKE podaje $P_b = 80\pi$ , ale to wydaje się błędne. Prawidłowa odpowiedź to $P_b = 2\sqrt{73}\pi \approx 17\pi$ . Możliwa omyłka w kluczu.

albo w innej postaci.

4 pkt

obliczenie pola powierzchni bocznej stożka.