Zadanie 27, maj 2015: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

x^2 - 4xy + 8y^2 \geq 5

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób: Przekształcenie do $(y + x - 2y)^2 + (2y)^2 \geq 5$ , czyli $(x - y)^2 + (2y)^2 \geq 5 \geq 0$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie nierówności w postaci równoważnej (np. sumy kwadratów) i zatrzymanie się lub dalsze błędy.

2 pkt

przeprowadzenie pełnego dowodu.

Komentarz

Akceptujemy różne metody dowodu: użycie postaci kanonicznej, analizę wyróżnika, rozłożenie na sumę kwadratów. Jeśli student sprawdza jedynie przykłady liczbowe, otrzymuje 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

.

II sposób: Traktowanie nierówności jako nierówność kwadratową względem x. Wyróżnik $\Delta = 16y^2 - 32y^2 = -16y^2 \leq 0$ , współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.

III sposób: Wykorzystanie nierówności $2xy \leq x^2 + y^2$ .