Matura z matematyki, maj 2015

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 78%

Zadanie 1

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-1 \le 4x - 5 \le 3$. A. B. C. D.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 83%

Zadanie 2

Dane są liczby $a = -\frac{1}{27}$, $b = \log_{\frac{1}{4}} 64$, $c = \log_{\frac{1}{3}} 27$. Iloczyn $abc$ jest równy A. $-9$ B. $-\frac{1}{3}$ C. $1{,}3$ D. $3$

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie 49%

Zadanie 3

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest…

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 80%

Zadanie 4

Równość $\sqrt{5 + m} = \sqrt{5} - \sqrt{5}$ zachodzi dla A. $m = 5$ B. $m = 4$ C. $m = 1$ D. $m = -5$

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie 54%

Zadanie 5

Układ równań $\begin{cases} 3x - y = 0 \\ -0{,}5x + y = 4 \end{cases}$ opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie A. zbiór pusty. B. dokładnie jeden punkt. C. dokładnie dwa różne punkty. D. zbiór nieskończony.

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 85%

Zadanie 6

Suma wszystkich pierwiastków równania $(x + 3)(x + 7)(x - 11) = 0$ jest równa A. $-1$ B. $21$ C. $1$ D. $-21$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 66%

Zadanie 7

Równanie $\frac{1}{x} - 1 = \frac{1}{x - 1}$ A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 1$. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 0$. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = -1$. D. ma dokładnie dwa rozwiązania: $x = 0$, $x = 1$.

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętetrudne 22%

Zadanie 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest A. $(-2, 2)$ B. $[-2, 2)$ C. $[-2, 2]$ D. $(-2, 2]$

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie 62%

Zadanie 9

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem $f(x) = (m - 1)x + 3$ leży punkt $S = (5, -2)$. Zatem A. $m = -1$ B. $m = 0$ C. $m = 1$ D. $m = 2$

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 10

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x) = 2x + b$ ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa $g(x) = -3x + 4$. Stąd wynika, że A. $b = 4$ B. $b = -\frac{3}{2}$ C. $b = -\frac{8}{3}$ D. $b = \frac{4}{3}$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 75%

Zadanie 11

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f(x) = x^2 + x + c$. Jeżeli $f(3) = 4$, to A. $f(1) = -6$ B. $f(1) = 0$ C. $f(1) = 6$ D. $f(1) = 18$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 66%

Zadanie 12

Ile liczb całkowitych $x$ spełnia nierówność $\frac{2}{4} < \frac{7x}{14} < 3$? A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 13

W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n \ge 1$, spełniony jest warunek $a_4 = a_1 \cdot 3$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy A. $q = \frac{1}{3}$ B. $q = \sqrt[3]{3}$ C. $q = 3\sqrt{3}$ D. $q = 3$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 67%

Zadanie 14

Tangens kąta $\alpha$ zaznaczonego na rysunku jest równy A. $-\frac{3}{3}$ B. $-\frac{5}{4}$ C. $-1$ D. $-\frac{4}{5}$

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 15

Jeżeli $0° < \alpha < 90°$ oraz $\tan \alpha = 2 \sin \alpha$, to A. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ B. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\cos \alpha = 1$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 16

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa A. $5°$ B. $10°$ C. $20°$ D. $30°$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętetrudne (szac.)

Zadanie 17

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę $\alpha$. Wtedy A. $14° < \alpha < 15°$ B. $29° < \alpha < 30°$ C. $60° < \alpha < 61°$ D. $75° < \alpha < 76°$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 77%

Zadanie 18

Prosta $l$ o równaniu $y = \frac{2}{3}mx + 3$ jest równoległa do prostej $k$ o równaniu $y = (m - 4)x - \frac{4}{3}$. Zatem A. $m = 2$ B. $m = -2$ C. $m = -2 - 2\sqrt{2}$ D. $m = 2 + 2\sqrt{2}$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 73%

Zadanie 19

Proste o równaniach: $y = 2m x - m^2 - 1$ oraz $y = m^2 x + 2m + 4$ są prostopadłe dla A. $m = -\frac{1}{2}$ B. $m = \frac{1}{2}$ C. $m = 1$ D. $m = 2$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 74%

Zadanie 20

Dane są punkty $M = (-2, 1)$ i $N = (1, -3)$. Punkt $K$ jest środkiem odcinka $MN$. Obrazem punktu $K$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt A. $K' = \left(-2, \frac{3}{2}\right)$ B. $K' = \left(2, -2\right)$ C.…

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 21

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa. A. $\angle HOL$ B. $\angle OGL$ C. $\angle HLO$ D.…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 82%

Zadanie 22

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa A. $27\pi$ B. $9\sqrt{3}\pi$ C. $18\pi$ D. $6\pi$

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 66%

Zadanie 23

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A. $\left(8^2 + 3 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3}\right) \cdot 2$ B. $28\sqrt{3}$ C. $28\sqrt{3} \cdot 6$ D.…

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 89%

Zadanie 24

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, $x$. Wynika stąd, że A. $x = 0$ B. $x = 3$ C. $x = 5$ D. $x = 6$

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie 47%

Zadanie 25

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul…

MatematykaMaj 20152 pktobliczeniowetrudne 32%

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność $\frac{x^2-4}{x-2}>\frac{x^2(3+x)}{(x-2)(x+2)}$.

MatematykaMaj 20152 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 27

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2 - 4xy + 8y^2 \geq 5$.

MatematykaMaj 20152 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 28

Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że $BL = \frac{1}{3}BE$ i $DN = \frac{1}{3}DE$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20152 pktobliczenioweśrednie 51%

Zadanie 29

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 - 6x + 3$ w przedziale $[0, 4]$.

MatematykaMaj 20152 pktobliczenioweśrednie 46%

Zadanie 30

W układzie współrzędnych są dane punkty $A = (-43, -12)$, $B = (50, 19)$. Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P. Oblicz pierwszą współrzędną punktu P.

MatematykaMaj 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 31

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy $\frac{4}{7}$, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy $\frac{1}{2}$. Wyznacz ten ułamek.

MatematykaMaj 20154 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 32

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

MatematykaMaj 20154 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 33

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20155 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 34

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n \geq 1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy $a_1$, $a_3$, $a_k$ ciągu…