Zadanie 28, maj 2015: matematyka podstawowa

Polecenie

Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że $BL = \frac{1}{3}BE$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

DN = \frac{1}{3}DE

(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy

1:3

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przyjmij, że przekątne mają długość $d = a\sqrt{2}$ .

Pole kwadratu: $P_{ABCD} = a^2$

Schemat punktowania

1 pkt

wyznaczenie pola jednego z trójkątów lub pola czworokąta w zależności od przekątnych i zatrzymanie się.

2 pkt

wykazanie, że $\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \frac{1}{3}$

Komentarz

Jeśli student przyjmie konkretne wartości liczbowe bez komentarza i rozwiąże do końca, otrzymuje 1 punkt. Jeśli pominie współczynnik 1/2 przy liczeniu pola, ale uzyska poprawny stosunek, otrzymuje 1 punkt. Wykorzystanie tezy w dowodzie = 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

Czworokąt KLMN składa się z czterech przystających trójkątów prostokątnych (np. KEN).

Pole każdego: $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{6} \cdot \frac{d}{4} = \frac{d^2}{48} = \frac{a^2}{24}$

Pole czworokąta: $P_{KLMN} = 4 \cdot \frac{a^2}{24} = \frac{a^2}{6}$ lub składa się z dwóch trójkątów każdy o polu $\frac{a^2}{6}$ .

Stosunek: $\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \frac{a^2/3}{a^2} = \frac{1}{3}$

.