Dowody geometryczne

MatematykaMaj 20262 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 21

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20262 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 20

Wykaż, że $|\angle CAB| = 2 \cdot |\angle ABE|$.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20241 pktzamkniętełatwe 77%

Zadanie 21

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120°$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe A. $12$ B. $12\sqrt{3}$ C. $6$ D. $6\sqrt{3}$

MatematykaCzerwiec 20231 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 25

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku $AB$ jest równa A. $8\sqrt{3}$ B. $8\sqrt{2}$ C. $16\sqrt{2}$ D. $16\sqrt{3}$

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20231 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 25

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa A. $8$ B. $8\sqrt{3}$ C. $2\sqrt{3}$ D. $2$

• Materiał graficzny

MatematykaDodatkowa 20202 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 29

Wykaż, że odcinek $AD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $\angle CAB$.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20192 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 29

Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa $\alpha$, to miara kąta ASD jest równa $3\alpha$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20191 pktzamkniętetrudne (szac.)

Zadanie 14

Punkty $B$, $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $r$. Punkt $A$ jest punktem wspólnym prostych $BC$ i $SD$, a odcinki $AB$ i $SC$ są równej długości. Miara kąta $BCS$ jest równa $34°$ (zobacz rysunek). Wtedy A. $\alpha = 12°$ B. $\alpha = 17°$ C.…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20191 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 20

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $AC = BC$. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę $44°$. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka $A$ przecina bok $BC$ tego trójkąta w punkcie $D$. Kąt $\angle ADC$ ma miarę A. $78°$ B. $34°$ C. $68°$ D.…

MatematykaCzerwiec 20192 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 28

Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $S$ jest środkiem boku $AB$ tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów $A$ i $B$ od prostej $CS$ są równe.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20182 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 29

Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $\sqrt{2} - 1$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20182 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 29

Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że $DE = 2 \cdot EC$, a na boku AB wybrano taki punkt F, że $BF = DE$. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20172 pktotwartetrudne 21%

Zadanie 28

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach $P$ i $R$, styczne zewnętrznie w punkcie $C$. Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ oraz $\angle APC = \alpha$ i $\angle ABC = \beta$ (zobacz rysunek). Wykaż, że…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20172 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 28

Dwusieczna kąta ostrego $\angle ABC$ przecina przyprostokątną $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ w punkcie $D$. Udowodnij, że jeżeli $AD = BD$, to $CD = \frac{1}{2} BD$.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20165 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 33

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki…

MatematykaCzerwiec 20162 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 29

Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20152 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 28

Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że $BL = \frac{1}{3}BE$ i $DN = \frac{1}{3}DE$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20152 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 28

Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że $AC^2 + BC^2 = BD^2 + AD^2$.

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20152 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 27

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.

• Materiał graficzny