Oznaczenie: $a$ – długość krawędzi podstawy, $H$ – wysokość ostrosłupa, $h$ – wysokość ściany bocznej, $O$ – środek podstawy, $P$ – środek krawędzi BC.

Wysokość podstawy: $h_{pust}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Warunek: $H=h_{pust}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Objętość ostrosłupa: $V=\frac{1}{3}\cdot P_{podstawy}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=27$

$\frac{a^3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{24}=27$

$\frac{a^3\cdot 3}{24}=27$

$a^3=216$

$a=6$

Wysokość ostrosłupa: $H=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

Odległość $OP$ (od środka do środka krawędzi, czyli apotema podstawy): $OP=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Wysokość ściany bocznej (ze tw. Pitagorasa w trójkącie POS): $h^2=OP^2+H^2=(\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=3+27=30$

$h=\sqrt{30}$ cm

Pole powierzchni bocznej (3 przystające trójkąty równoramienne): $P_{boczna}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=3\cdot\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt{30}=9\sqrt{30}$

Cosinus kąta nachylenia $SP$ do płaszczyzny podstawy: $\cos\alpha=\frac{OP}{h}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$