Zadanie 29, maj 2016: matematyka podstawowa

Polecenie

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że $\angle DEC=\angle BGF=90°$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech $\angle ACB=\alpha$ . Ponieważ $\angle CAB=90°$ , więc $\angle ABC=90°-\alpha$

Schemat punktowania

1 pkt

wskaże w dwóch trójkątach spośród CBA, CDE i FBG jedną parę równych kątów ostrych, z uwzględnieniem, że kąt przy B lub C musi być wskazany w dwóch trójkątach; lub zapisze, że ABC ~ FBG i ABC ~ CDE bez wskazania par kątów, i na tym zakończy.

2 pkt

przeprowadzi pełne rozumowanie podobieństwa przy użyciu cechy kkk lub poprzez wykazanie podobieństwa do ABC.

Komentarz

Jeśli zdający przyjmie konkretne miary kątów, otrzymuje 0 pkt. Jeśli przyjmie błędne zależności między kątami, otrzymuje 0 pkt.

Umiejętności w zadaniu

Cechy podobieństwa trójkątów Ćwicz podobne

.

W $\triangle CDE$ : $\angle DEC=90°$ , więc $\angle DCE=90°-\alpha$ , czyli $\angle CDE=\alpha$ .

Podobnie $\triangle BFG$ : $\angle FGB=90°$ , więc $\angle GBF=\angle ABC=90°-\alpha$ , czyli $\angle BFG=\alpha$ .

Ponieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty: $\angle DCE=\angle GBF=90°-\alpha$ oraz $\angle CDE=\angle BFG=\alpha$ , więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są podobne.

Alternacyjnie: trójkąt CED jest podobny do ABC (bo $\angle DEC=\angle CAB=90°$ i obie mają wspólny $\angle ACB=\alpha$ ), i trójkąt GBF jest podobny do ABC (bo $\angle FGB=\angle CAB=90°$ i obie mają wspólny $\angle ABC=90°-\alpha$ ). Z przechodniości CED ~ FBG.