Zadanie 30, czerwiec 2022: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

x \ne y

prawdziwa jest nierówność

$\left(\frac{1}{5}x + \frac{4}{5}y\right)^2 < \frac{x^2 + 4y^2}{5}$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy równoważnie nierówność:

$\left(\frac{1}{5}x + \frac{4}{5}y\right)^2 < \frac{x^2 + 4y^2}{5}$

Schemat punktowania

1 pkt

przekształcenie nierówności do postaci $c \cdot [W(x,y)]^2 > 0$ lub $-c \cdot [W(x,y)]^2 < 0$

Komentarz

Sprawdzenie nierówności tylko dla wybranych wartości $x$ i $y$ daje 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

$\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{25}xy + \frac{16}{25}y^2 < \frac{x^2 + 4y^2}{5}$

$x^2 + 8xy + 16y^2 < 5x^2 + 20y^2$

$-4x^2 + 8xy - 4y^2 < 0$

$x^2 - 2xy + y^2 > 0$

$(x-y)^2 > 0$

Z założenia $x \ne y$ , więc $(x-y)^2$ jest dodatnie jako kwadrat liczby rzeczywistej różnej od zera. Nierówność jest prawdziwa.

(gdzie

W

jest wielomianem,

c > 0

).

2 pkt

pełne rozumowanie: spełnienie warunku za 1 pkt oraz przeprowadzenie wnioskowania o prawdziwości tezy korzystając z założenia.