Zadanie 32, czerwiec 2019: matematyka podstawowa

Polecenie

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy $3 : 4$ . Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Kąt SAO ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech boki prostokąta to $3x$ i $4x$ . Z pola: $3x \cdot 4x = 432$ , czyli $12x^2 = 432$

Schemat punktowania

1 pkt

wyznaczenie wymiarów boków prostokąta (18 i 24); 1 pkt – obliczenie połowy przekątnej $|AO| = 15$ ; 1 pkt – wyznaczenie wysokości ostrosłupa $|SO| = 15\sqrt{3}$

Komentarz

Całkowita suma punktów może wynieść maksymalnie 5 pkt. Schemat pozwala na przyznanie punktów cząstkowych za poszczególne etapy.

Umiejętności w zadaniu

, stąd

x^2 = 36

,

x = 6

. Boki to 18 i 24. Połowa przekątnej:

|AO| = \frac{1}{2}\sqrt{18^2 + 24^2} = \frac{1}{2}\sqrt{324 + 576} = \frac{1}{2}\sqrt{900} = 15

. Z kąta SAO = 60°:

\tan 60° = \frac{|SO|}{|AO|}

, czyli

\sqrt{3} = \frac{|SO|}{15}

, stąd

|SO| = 15\sqrt{3}

. Objętość:

V = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 15\sqrt{3} = 144 \cdot 15\sqrt{3} = 2160\sqrt{3}

.

; 2 pkt – obliczenie objętości ostrosłupa

V = 2160\sqrt{3}

.