Zadanie 33, czerwiec 2021: matematyka podstawowa

Polecenie

W trójkącie $ABC$ boki $BC$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

AC

są równej długości. Prosta

k

jest prostopadła do podstawy

AB

tego trójkąta i przecina boki

AB

oraz

BC

w punktach – odpowiednio –

D

i

E

. Pole czworokąta

ADEC

jest

17

razy większe od pola trójkąta

BED

. Oblicz

\frac{|CE|}{|EB|}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech $F$ będzie spodkiem wysokości trójkąta $ABC$ poprowadzonej z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$ . Ponieważ $P_{ADEC} = 17P_{BED}$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisze związek między polami trójkątów $FBC$ oraz $BED$ : $P_{FBC} = 9P_{BED}$

Komentarz

Klucz podaje rozwiązanie, w którym $F$ jest spodkiem wysokości z $C$ na $AB$ . Ze wskazanego warunku na pola trójkątów wynika, że $P_{FBC} = 9P_{BED}$

Umiejętności w zadaniu

i trójkąt

ABC

jest równoramienny, więc

P_{FBC} = 9P_{BED}

.

Prosta $k$ jest równoległa do wysokości $CF$ , więc trójkąty $BCF$ i $BED$ są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów).

Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych otrzymujemy:

$\frac{P_{\triangle FBC}}{P_{\triangle BED}} = \left(\frac{|BC|}{|EB|}\right)^2$

$9 = \left(\frac{|BC|}{|EB|}\right)^2$

$\frac{|BC|}{|EB|} = 3$

$\frac{|BE| + |EC|}{|EB|} = 3$

$1 + \frac{|CE|}{|EB|} = 3$

$\frac{|CE|}{|EB|} = 2$

lub zapisze, że trójkąty

BCF

i

BED

są podobne i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

2 pkt

obliczy $\frac{|CE|}{|EB|} = 2$ .

.