Matura z matematyki, czerwiec 2021

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 1

Wartość wyrażenia $\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})$ jest równa A. $5 - 2\sqrt{6}$ B. $5$ C. $5 + 2\sqrt{6}$ D. $-1$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 2

Liczba $\left(7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}$ jest równa A. $7^{\frac{5}{3}}$ B. $7^1$ C. $7^{\frac{3}{2}}$ D. $7^{\frac{10}{3}}$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 3

Niech $\log_3 18 = c$. Wtedy $\log_3 54$ jest równy A. $c - 1$ B. $c$ C. $c + 1$ D. $c + 2$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 4

Cenę drukarki obniżono o $20\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o A. $18\%$ B. $28\%$ C. $30\%$ D. $72\%$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 5

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(x - 1)^2 - (2 - x)^2$ jest równe A. $2x - 3$ B. $2x^2 - 6x - 3$ C. $(2x - 3)^2$ D. $9$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 6

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, spełniających jednocześnie nierówności $0 < 7 - 3x$ oraz $7 - 3x \le 5x - 3$. A. B. C. D.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 7

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3} + 2 = 2x - 8$ jest liczba A. $10(2 + \sqrt{3})$ B. $\frac{10}{\sqrt{3} - 2}$ C. $10(\sqrt{3} - 2)$ D. $\frac{\sqrt{3} + 10}{2}$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 8

Równanie $\frac{x^2 - 7x}{x^2 - 49} = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $(-1, 7)$. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe. B. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest $\langle -1, 1)$. C. Funkcja $f$ osiąga wartość największą równą $1$. D. Funkcja $f$…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 10

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = -3(x + 4)(x - 2)$ jest parabola o wierzchołku $W = (p, q)$. Współrzędne wierzchołka $W$ spełniają warunki A. $p > 0$ i $q > 0$ B. $p < 0$ i $q > 0$ C. $p < 0$ i $q < 0$ D. $p > 0$ i $q < 0$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 11

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba A. $-2$ B. $-3$ C. $-4$ D. $-6$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 12

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$ jest równa A. $-2$ B. $0$ C. $3$ D. $4$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 13

Dane są ciągi $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, określone dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ wzorami: $a_n = 20n + 3$, $b_n = 2n^2 - 3$, $c_n = n^2 + 10n - 2$, $d_n = \frac{n + 187}{n}$. Liczba $197$ jest dziesiątym wyrazem ciągu A. $(a_n)$ B. $(b_n)$ C.…

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 14

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek $a_3 = a_1 \cdot a_2$. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_n)$. Wtedy A. $a_1 = \frac{1}{q}$ B.…

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 15

Kąt o mierze $\alpha$ jest ostry i $\tg \alpha = \sqrt{5}$. Wtedy A. $\cos^2 \alpha = \frac{1}{6}$ B. $\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$ C. $\cos^2 \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D. $\cos^2 \alpha = \frac{5}{6}$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 16

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leżą punkty $A$, $B$ oraz $C$. Odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy $\angle AOB$ ma miarę $82°$ (zobacz rysunek). Miara kąta $\angle OBC$ jest równa A. $41°$ B. $45°$ C. $49°$ D. $51°$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 17

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Punkty $B$ i $C$ są położone na okręgu tak, że $BC$ jest jego średnicą. Cięciwa $AB$ tworzy ze styczną kąt o mierze $40°$ (zobacz rysunek). Miara kąta $ABC$ jest równa A. $20°$ B. $40°$ C. $45°$ D.…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 18

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach $|AC| = 24$, $|BC| = 10$, $|AB| = 26$. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Odległość $x$ punktu $P$ od przeciwprostokątnej $AB$ jest równa A. $2$ B. $4$ C. $\frac{5}{2}$ D.…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 19

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą $5$. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości A. $4$ i $6$ B. $4$ i $3$ C. $10$ i $10$ D. $5$ i $5$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 20

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę $120°$, a najdłuższy bok ma długość $12$ (zobacz rysunek). Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą A. $6$ B. $2\sqrt{3}$ C. $4\sqrt{3}$ D. $6\sqrt{3}$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 21

Prosta przechodząca przez punkty $(-4, -1)$ oraz $(5, 5)$ ma równanie A. $y = x + 3$ B. $y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$ C. $y = x - 3$ D. $y = \frac{2}{3}x + \frac{11}{3}$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 22

Proste o równaniach $y = -\frac{1}{m - 2}x - 1$ i $y = \frac{1}{3}x + 1$ są równoległe. Wynika stąd, że A. $m = \frac{5}{3}$ B. $m = -1$ C. $m = \frac{7}{3}$ D. $m = 5$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 23

W prostokącie $ABCD$ dane są wierzchołki $C = (-3, 1)$ oraz $D = (2, 1)$. Bok $AD$ ma długość $6$. Pole tego prostokąta jest równe A. $6\sqrt{29}$ B. $12\sqrt{2}$ C. $24$ D. $30$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 24

Obrazem prostej o równaniu $x - 2y + 3 = 0$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ jest prosta o równaniu A. $-x + 2y + 3 = 0$ B. $-x + 2y - 3 = 0$ C. $x + 2y - 3 = 0$ D. $x + 2y + 3 = 0$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 25

Graniastosłup prawidłowy ma $36$ krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa $4$. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe A. $176$ B. $192$ C. $224$ D. $288$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętetrudne (szac.)

Zadanie 26

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest $2$ razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ C. $1$ D.…

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 27

W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera – spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o $25\%$ więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo…

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 28

Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: $2$, $3x$, $3x + 2$, $3x + 4$ jest równa $\frac{13}{2}$. Wynika stąd, że A. $x = 9$ B. $x = \frac{13}{2}$ C. $x = \frac{5}{9}$ D. $x = 2$

MatematykaCzerwiec 20212 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 29

Rozwiąż nierówność: $2(x + 1)(x - 3) < x^2 - 9$

MatematykaCzerwiec 20212 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 30

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ i $c$ takich, że $\frac{a + b}{2} > c$ i $\frac{b + c}{2} > a$, prawdziwa jest nierówność $\frac{a + c}{2} < b$

MatematykaCzerwiec 20212 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 31

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n \geq 1$. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $20a_{21} + 62$. Oblicz różnicę ciągu $(a_n)$.

MatematykaCzerwiec 20212 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 32

Dany jest trapez o podstawach długości $a$ oraz $b$ i wysokości $h$. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o $25\%$, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość $h$ trapezu.

MatematykaCzerwiec 20212 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 33

W trójkącie $ABC$ boki $BC$ i $AC$ są równej długości. Prosta $k$ jest prostopadła do podstawy $AB$ tego trójkąta i przecina boki $AB$ oraz $BC$ w punktach – odpowiednio – $D$ i $E$. Pole czworokąta $ADEC$ jest $17$ razy większe od pola trójkąta $BED$. Oblicz…

MatematykaCzerwiec 20212 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 34

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, a cyfra jedności należy do zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że…

MatematykaCzerwiec 20215 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 35

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y = -2x + 16$. Wierzchołki $B$ i $C$ mają współrzędne $B = (3, 10)$ i $C = (-2, 3)$. Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ i pole trójkąta $ABC$.