Zadanie 35, maj 2021: matematyka podstawowa

Polecenie

Punkty $A = (−20, 12)$ i $B = (7, 3)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

są wierzchołkami trójkąta równoramiennego

ABC

, w którym

|AC| = |BC|

. Wierzchołek

C

leży na osi

Oy

układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka

C

oraz obwód tego trójkąta.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$C = (0, 27)$

$L = 50 + 9\sqrt{10}$

Schemat punktowania

1 pkt

gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej $AB$ ( $a_{AB} = -\frac{1}{3}$

Komentarz

Błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, zmniejszają wynik do maksymalnie 4 punktów. Jeśli zdający błędnie przyjmie, że wierzchołek $C$ leży poza osią $Oy$ , może otrzymać co najwyżej 3 punkty. Jeśli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko $C = (0, 27)$ , otrzymuje 0 punktów; jeśli nie sporządzi rysunku, ale kontynuuje rozwiązanie, może otrzymać co najwyżej 2 punkty.

Umiejętności w zadaniu

Rozwiązanie (Sposób 1 - symetralna):

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ : $a_{AB} = \frac{3-12}{7-(-20)} = -\frac{1}{3}$

Współczynnik kierunkowy symetralnej: $a_k = 3$

Środek odcinka $AB$ : $M = (-\frac{13}{2}, \frac{15}{2})$

Równanie symetralnej: $y = 3x + 27$

Punkt $C$ na osi $Oy$ (czyli $x=0$ ): $C = (0, 27)$

$|AC| = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{625} = 25$

$|AB| = \sqrt{27^2 + 9^2} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}$

$L = 25 + 25 + 9\sqrt{10} = 50 + 9\sqrt{10}$

Alternatywnie (Sposób 2): Użycie warunku $|AC|^2 = |BC|^2$ prowadzi do równania $400 + (y_C-12)^2 = 49 + (y_C-3)^2$ , stąd $y_C = 27$ .

), lub zapisze równanie prostej

AB

, lub obliczy współrzędne środka

M

odcinka

AB

(

M = (-\frac{13}{2}, \frac{15}{2})

), lub przyjmie

C = (0, y_C)

, lub zapisze równość

|AC| = |BC|

, lub zastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku

AB

i uzyska

|AB| = 9\sqrt{10}

.

2 pkt

gdy spełni warunki z 1 pkt oraz obliczy długość boku $AB$ , lub gdy zapisze równanie symetralnej ( $y = 3x + 27$ ), lub zapisze równanie wynikające z prostopadłości wektorów, lub zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi.

3 pkt

gdy spełni warunki z 2 pkt oraz obliczy długość boku $AB$ , lub gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy $C = (0, 27)$ .

4 pkt

gdy zastosuje poprawną metodę obliczenia współrzędnych punktu $C$ oraz poprawną metodę obliczenia jednego z boków i uzyska $C = (0, 27)$ oraz $|AB| = 9\sqrt{10}$ (lub $|BC| = 25$ ).

5 pkt

gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współrzędnych punktu $C$ oraz obliczy obwód $L$ i uzyska $C = (0, 27)$ oraz $L = 50 + 9\sqrt{10}$ .