Zadanie 30, maj 2021: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb $a$ , $b$ i $c$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

takich, że

a < b

, spełniona jest nierówność

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształć nierówność równoważnie. Sposób 1: Sprowadzenie do wspólnego mianownika i uproszczenie daje $\frac{c(a-b)}{b(b+c)}<0$ . Z założeń: $c>0$

Schemat punktowania

1 pkt

przekształcenie nierówności do postaci równoważnej, z której można przeprowadzić bezpośrednie wnioskowanie (np. $\frac{c(a-b)}{b(b+c)}<0$ , lub $c(a-b)<0$

Komentarz

Jeśli zdający sprawdza nierówność tylko dla wybranych wartości, otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.

Umiejętności w zadaniu

,

a-b<0

, więc

c(a-b)<0

, a

b(b+c)>0

, stąd cały ułamek jest ujemny. Sposób 2: Mnożenie obustronnie przez

b(b+c)>0

daje

a(b+c)<b(a+c)

, czyli

ac<bc

, co wynika z

a<b

i

c>0

. Sposób 3: Przekształcenie do

\frac{a-b}{b}<\frac{a-b}{b+c}

– liczniki ujemne i równe, mianownik prawy większy, więc nierówność jest prawdziwa. Sposób 4: Dowód nie wprost – załóż

\frac{a}{b}\ge\frac{a+c}{b+c}

, doprowadź do

a\ge b

, sprzeczność z

a<b

.

, lub

ca<cb

, lub

\frac{a-b}{b}<\frac{a-b}{b+c}

), lub przekształcenie założenia

a<b

do

a(b+c)<b(a+c)

, lub dowód nie wprost transformujący

\frac{a}{b}\ge\frac{a+c}{b+c}

do

ac\ge bc

.

2 pkt

spełnienie warunku za 1 pkt oraz wykorzystanie założenia $a<b$ w przeprowadzonym rozumowaniu i doprowadzenie do tezy.