Zadanie 29, specimen 2023: matematyka podstawowa

Polecenie

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30°$ .

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości

x

boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Oznaczenie boków: $a$ , $b$ ; obwód: $2a + 2b = 200$ , stąd $b = 100 - a$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawna metoda obliczenia długości obu boków równoległoboku o największym polu oraz podanie prawidłowych wyników: $a = 50$ , $b = 50$ oraz $P(50) = 1250$ .

Umiejętności w zadaniu

, gdzie

a \in (0, 100)

Wzór na pole:

$P(a) = a \cdot b \cdot \sin 30° = a(100 - a) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}a^2 + 50a$

Dziedzina: $D = (0, 100)$

Wierzchołek paraboli: $a_{opt} = \frac{50}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 50$

Wymiary: $a = 50$ , $b = 100 - 50 = 50$

Największe pole: $P(50) = 50 \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} = 1250$

Odpowiedź: równoległobok jest rombem o boku $50$ , pole równe $1250$ .

3 pkt

poprawne zapisanie wzoru na pole $P$ równoległoboku w zależności od jednej zmiennej, wyznaczenie dziedziny $D$ tej funkcji oraz prawidłowe obliczenie argumentu $a_{opt}$ , dla którego funkcja pola osiąga wartość największą: $P(a) = a \cdot (100 - a) \cdot \frac{1}{2}$ , $D = (0, 100)$ , $a_{opt} = 50$ .

2 pkt

poprawne zapisanie wzoru na pole równoległoboku w zależności od jednej zmiennej: $P(a) = a \cdot (100 - a) \cdot \frac{1}{2}$ .

1 pkt

zapisanie wzoru na pole równoległoboku: $P = a \cdot b \cdot \sin 30°$ LUB zapisanie związku między długościami boków równoległoboku: $2a + 2b = 200$ .