Zadanie 9, czerwiec 2019: matematyka rozszerzona

Polecenie

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5 - n^4 - n^3 + n^2 + 19n + 3$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest podzielne przez 16.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Sposób I:

Wyrażenie można rozpisać jako: $(n-1)(n+1)n(n-1) + 16n + 3 = (n-1)^2(n)(n+1) + 16n + 3$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie wyrażenia w postaci $(n-1)(n+1)n(n-3) + 16n + 3$ lub rozwinięcie dla $n = 2k+1$

Umiejętności w zadaniu

Dowody podzielności i reszt Ćwicz podobne

Dla $n$ nieparzystego $(n-1)$ i $(n+1)$ są parzyste, a $(n^2 - 1)$ jest podzielne przez 8.

Iloczyn $(n-1)(n+1)(n-3)n$ jest podzielny przez 16 dla $n$ nieparzystego.

Sposób II:

Niech $n = 2k + 1$ . Wyrażenie przyjmuje postać: $32k^5 + 32k^4 - 16k^3 - 32k^2 - 16k + 16 = 16(2k^5 + 2k^4 - k^3 - 2k^2 - k + 1)$ .

Zatem wyrażenie jest podzielne przez 16.

.

2 pkt

doprowadzenie do postaci wyraźnie podzielnej przez 16, bez pełnego uzasadnienia.

3 pkt

pełne rozumowanie pokazujące podzielność przez 16.