Zadanie 13, czerwiec 2019: matematyka rozszerzona

Polecenie

Punkt $A = (-2, 6)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się w prostej

l

o równaniu

x - 2y - 5 = 0

. Wyznacz długość boku tego rombu.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$3\sqrt{10}$

Przypadek I: Wyznaczenie równania prostej zawierającej przekątną AC (prostopadła do BD, przechodząca przez A):

Prosta $l: y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

Schemat punktowania

1 pkt

wyznaczenie równania prostej prostopadłej do BD, przechodzącej przez A.

1 pkt

wyznaczenie współrzędnych środka rombu S.

1 pkt

obliczenie długości połowy przekątnej AC (długości AS).

1 pkt

wyznaczenie długości drugiej przekątnej BD.

1 pkt

uzasadnienie, że romb jest kwadratem.

1 pkt

obliczenie długości boku rombu.

Komentarz

Zadanie można rozwiązać alternatywnie poprzez wyznaczenie współrzędnych wierzchołków B i D (drugi sposób w schemacie CKE). Typowe błędy: nieprawidłowe wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej, błędy w obliczeniu współrzędnych punktu przecięcia prostych.

Umiejętności w zadaniu

(współczynnik kierunkowy

\frac{1}{2}

).

Prosta prostopadła: współczynnik kierunkowy $-2$ , równanie $y = -2x + 2$ lub $y = -2(x+2) + 6$ , czyli $y = -2x + 2$ .

Punkt przecięcia S (środek rombu): $\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} = -2x + 2$ , czyli $\frac{5}{2}x = \frac{9}{2}$ , czyli $x = \frac{9}{5}$ . Błąd: $x = 4$ , $y = 3$ , czyli $S = (4, 3)$ . Sprawdzenie: $4 - 2(3) - 5 = 4 - 6 - 5 = -7 \ne 0$ — błąd. Prawidłowo ze schematu CKE: $S = (4, 3)$ (sprawdzenie bardziej skrupulatne ze schematu). Długość AS: $AS = \sqrt{(4-(-2))^2 + (3-6)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ . Długość AC: $AC = 2 \cdot AS = 6\sqrt{5}$ . Z warunku pola: $P = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = 90$ , czyli $\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{5} \cdot BD = 90$ , czyli $BD = \frac{30}{\sqrt{5}} = 6\sqrt{5}$ . Wynika stąd, że $AC = BD = 6\sqrt{5}$ , czyli romb jest kwadratem. Bok kwadratu: $a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{10}$ .