Matura z matematyki, czerwiec 2019

MatematykaCzerwiec 20191 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 1

Parametr m dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania $(m^2 - 4)x = m^2 - 3m + 2$ z niewiadomą $x$. Wynika stąd, że A. $m = -2$ B. $m = 1$ C. $m = 2$ D. $m = 4$

MatematykaCzerwiec 20191 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 2

Dane są trzy niewspółliniowe punkty: $A = (1, 1)$, $B = (6, 3)$, $C = (4, 5)$. Ile jest wszystkich punktów $D$ takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach $A$, $B$, $C$, $D$ jest równoległobokiem? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

MatematykaCzerwiec 20191 pktzamkniętetrudne (szac.)

Zadanie 3

Wiadomo, że wielomian $15x^5 - 133x^4 + 383x^3 - 499x^2 + 146x + 120$ ma w zbiorze $\{\frac{6}{5}, \frac{7}{6}, \frac{8}{7}, \frac{9}{5}\}$ dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba A. $\frac{6}{5}$ B. $\frac{7}{6}$ C. $\frac{8}{7}$ D.…

MatematykaCzerwiec 20191 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 4

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony w następujący sposób: $a_1 = \frac{3}{5}$ oraz $a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n$ dla $n \geq 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa A. $\frac{5}{3}$ B. $\frac{10}{9}$ C. $\frac{9}{10}$ D. $\frac{9}{5}$

MatematykaCzerwiec 20192 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 5

W urnie znajduje się 16 kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest 10 kul białych i 6 kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych. Wpisz w poniższe kratki –…

MatematykaCzerwiec 20193 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 6

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.

MatematykaCzerwiec 20192 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \frac{2x^2 - 25}{x^2 + 9}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu 10.

MatematykaCzerwiec 20193 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 8

Wykaż, że $\angle AEC = \frac{\angle ABC - \angle ADC}{2} + 360°$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20193 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 9

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5 - n^4 - n^3 + n^2 + 19n + 3$ jest podzielne przez 16.

MatematykaCzerwiec 20194 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10

Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest o $2°$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+2)$-kąta foremnego. Oblicz $n$.

MatematykaCzerwiec 20196 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20196 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(x^2 + (m-2)x + 4m - 2 - m^2 = 0$ ma dwa różne dodatnie rozwiązania $x_1, x_2$ spełniające nierówność $x_1^2 + x_2^2 \le \frac{17}{4}$.

MatematykaCzerwiec 20196 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 13

Punkt $A = (-2, 6)$ jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się w prostej $l$ o równaniu $x - 2y - 5 = 0$. Wyznacz długość boku tego rombu.

MatematykaCzerwiec 20194 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 14

Rozwiąż równanie $4\sin 7x \cos 2x = 2\sin 9x - 1$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

MatematykaCzerwiec 20197 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 15

Zapisz pole trójkąta $SS_1S_2$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.