Przejdź do treści
Zadanie 14, czerwiec 2019: matematyka rozszerzona | Maturownik
Baza zadań / Matura z matematyki, czerwiec 2019 / Zadanie 14 14 Zadania w arkuszu 14 z 15 Zadanie 1 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 2 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 3 1 pkt · zamknięte , trudne Zadanie 4 1 pkt · zamknięte , łatwe Zadanie 5 2 pkt · otwarte , średnie Zadanie 6 3 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 7 2 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 8 3 pkt · otwarte , trudne Zadanie 9 3 pkt · otwarte , trudne Zadanie 10 4 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 11 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 12 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 13 6 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 14 4 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 15 7 pkt · obliczeniowe , trudne Pokaż wszystkie zadania Filtry Poziom, umiejętności, typ, punkty Polecenie
Rozwiąż równanie 4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x − 1 4\sin 7x \cos 2x = 2\sin 9x - 1 4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x − 1
14 Zadania w arkuszu 14 z 15 Zadanie 1 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 2 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 3 1 pkt · zamknięte , trudne Zadanie 4 1 pkt · zamknięte , łatwe Zadanie 5 2 pkt · otwarte , średnie Zadanie 6 3 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 7 2 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 8 3 pkt · otwarte , trudne Zadanie 9 3 pkt · otwarte , trudne Zadanie 10 4 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 11 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 12 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 13 6 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 14 4 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 15 7 pkt · obliczeniowe , trudne Pokaż wszystkie zadania Filtry Poziom, umiejętności, typ, punkty Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
w przedziale
⟨ 0 , π ⟩ \langle 0, \pi \rangle ⟨ 0 , π ⟩ .
Sprawdź rozwiązanie Ukryj rozwiązanie Klucz CKE i punktacja Zanim porównasz z kluczem
Jak poszło Ci z tym zadaniem? Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.
Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto
Maturownik+ Sprawdź swoje rozwiązanie Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s
Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.
Punkty według schematu Konkretne miejsca utraty punktów Błędy zapisane do powtórki Załóż konto i sprawdź odpowiedź Odpowiedź z klucza CKE x ∈ { 7 π 30 , 11 π 30 , 19 π 30 , 23 π 30 } x \in \{\frac{7\pi}{30}, \frac{11\pi}{30}, \frac{19\pi}{30}, \frac{23\pi}{30}\} x ∈ { 30 7 π , 30 11 π , 30 19 π , 30 23 π }
Schemat punktowania 1 pkt zastosowanie wzoru na iloczyn sin A cos B \sin A \cos B sin A cos B oraz otrzymanie równania sin 5 x = − 1 2 \sin 5x = -\frac{1}{2} sin 5 x = − 2 1
Przekształcenie równania:
4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x − 1 4\sin 7x \cos 2x = 2\sin 9x - 1 4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x − 1
2 ⋅ 2 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x − 1 2 \cdot 2\sin 7x \cos 2x = 2\sin 9x - 1 2 ⋅ 2 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x − 1
2 ( sin 9 x + sin 5 x ) = 2 sin 9 x − 1 2(\sin 9x + \sin 5x) = 2\sin 9x - 1 2 ( sin 9 x + sin 5 x ) = 2 sin 9 x − 1
2 sin 9 x + 2 sin 5 x = 2 sin 9 x − 1 2\sin 9x + 2\sin 5x = 2\sin 9x - 1 2 sin 9 x + 2 sin 5 x = 2 sin 9 x − 1
2 sin 5 x = − 1 2\sin 5x = -1 2 sin 5 x = − 1
sin 5 x = − 1 2 \sin 5x = -\frac{1}{2} sin 5 x = − 2 1
Rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych:
5 x = − π 6 + 2 k π 5x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi 5 x = − 6 π + 2 k π lub 5 x = π + π 6 + 2 k π = 7 π 6 + 2 k π 5x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi 5 x = π + 6 π + 2 k π = 6 7 π + 2 k π , gdzie k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z .
Poprawnie: 5 x = − π 6 + 2 k π 5x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi 5 x = − 6 π + 2 k π lub 5 x = π − ( − π 6 ) + 2 k π = 7 π 6 + 2 k π 5x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi 5 x = π − ( − 6 π ) + 2 k π = 6 7 π + 2 k π .
Stąd: x = − π 30 + 2 k π 5 x = -\frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} x = − 30 π + 5 2 k π lub x = 7 π 30 + 2 k π 5 x = \frac{7\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} x = 30 7 π + 5 2 k π .
W przedziale [ 0 , π ] [0, \pi] [ 0 , π ] :
Z pierwszej serii ( k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 k=0,1,2,3,4 k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ):
k = 0 k=0 k = 0 : x = − π 30 x = -\frac{\pi}{30} x = − 30 π — nie należy do przedziału
k = 1 k=1 k = 1 : x = − π 30 + 2 π 5 = − π 30 + 12 π 30 = 11 π 30 x = -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi}{5} = -\frac{\pi}{30} + \frac{12\pi}{30} = \frac{11\pi}{30} x = − 30 π + 5 2 π = − 30 π + 30 12 π = 30 11 π ✓
k = 2 k=2 k = 2 : x = − π 30 + 4 π 5 = 23 π 30 x = -\frac{\pi}{30} + \frac{4\pi}{5} = \frac{23\pi}{30} x = − 30 π + 5 4 π = 30 23 π ✓
k = 3 k=3 k = 3 : x = − π 30 + 6 π 5 = 35 π 30 > π x = -\frac{\pi}{30} + \frac{6\pi}{5} = \frac{35\pi}{30} > \pi x = − 30 π + 5 6 π = 30 35 π > π — nie należy
Z drugiej serii ( k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 k=0,1,2,3,4 k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ):
k = 0 k=0 k = 0 : x = 7 π 30 x = \frac{7\pi}{30} x = 30 7 π ✓
k = 1 k=1 k = 1 : x = 7 π 30 + 2 π 5 = 7 π 30 + 12 π 30 = 19 π 30 x = \frac{7\pi}{30} + \frac{2\pi}{5} = \frac{7\pi}{30} + \frac{12\pi}{30} = \frac{19\pi}{30} x = 30 7 π + 5 2 π = 30 7 π + 30 12 π = 30 19 π ✓
k = 2 k=2 k = 2 : x = 7 π 30 + 4 π 5 = 31 π 30 > π x = \frac{7\pi}{30} + \frac{4\pi}{5} = \frac{31\pi}{30} > \pi x = 30 7 π + 5 4 π = 30 31 π > π — nie należy
.
1 pkt zapisanie obu serii rozwiązań równania elementarnego w zbiorze liczb rzeczywistych.
1 pkt wyznaczenie wszystkich rozwiązań w podanym przedziale.
1 pkt poprawny zapis końcowego wyniku (wszystkie cztery rozwiązania).