Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

• rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;

• obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu 18;

• punkty: $S, S_1, S_2$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach $a, b, c$ można obliczyć ze wzoru Herona

$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

gdzie $p$ – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta $SS_1S_2$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

2. Styczne wewnętrznie do głównego okręgu: $|SS_1| = 18 - x$ oraz $|SS_2| = 18 - 2x$

Połowa obwodu: $p = \frac{(18-x) + (18-2x) + 3x}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Pole ze wzoru Herona:

$P(x) = \sqrt{18 \cdot (18-(18-x)) \cdot (18-(18-2x)) \cdot (18-3x)}$

$P(x) = \sqrt{18 \cdot x \cdot 2x \cdot (18-3x)}$

$P(x) = \sqrt{36x^2(18-3x)}$

$P(x) = 6x\sqrt{18-3x}$

Uproszczenie:

$P(x) = 6x\sqrt{3(6-x)} = 6x\sqrt{3}\sqrt{6-x}$

Dziedzina: Warunki nierówności trójkąta:

- $x > 0$ (promień dodatni)

- $18 - x > 0$, czyli $x < 18$

- $18 - 2x > 0$, czyli $x < 9$

- $3x < (18-x) + (18-2x)$, czyli $3x < 36 - 3x$, czyli $x < 6$

- Pozostałe warunki trójkąta są spełnione.

Dziedzina: $x \in (0, 6)$

Optymalizacja: Niech $f(x) = x^2(18-3x) = 18x^2 - 3x^3$

$f'(x) = 36x - 9x^2 = 9x(4 - x)$

$f'(x) = 0$ dla $x = 0$ lub $x = 4$.

W przedziale $(0,6)$: maksimum w $x = 4$.

Boki trójkąta dla $x = 4$:

- $|SS_1| = 18 - 4 = 14$

- $|SS_2| = 18 - 8 = 10$

- $|S_1S_2| = 3 \cdot 4 = 12$

Pole maksymalne:

$P(4) = 6 \cdot 4 \sqrt{18 - 12} = 24\sqrt{6}$