Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Przyjmij model zjawiska, w którym na ciało podczas opadania działają dwie siły: siła grawitacji $\vec{F}_g$ oraz siła oporu powietrza $\vec{F}_o$, której wartość zależy od wartości $v$ prędkości ciała w następujący sposób:

$$F_o = \frac{1}{2}CS\rho v^2$$

gdzie $C$ jest współczynnikiem zależącym od kształtu ciała, $S$ jest polem przekroju ciała (prostopadłym do kierunku ruchu), $\rho$ jest gęstością powietrza. Siłę wyporu aerostatycznego pomijamy. Przyjmij także, że od pewnej chwili ruch ciała w powietrzu można uznać za jednostajny ze stałą prędkością o wartości $v_g$.

Rozważamy dwie kule K1 i K2, które opadają w powietrzu. Kula K1 o promieniu $R_1$, gdy opada, osiąga prędkość graniczną o wartości $v_{1g}$, a kula K2 o promieniu $R_2 = 2R_1$, gdy opada, osiąga prędkość graniczną o wartości $v_{2g}$. Obie kule wykonane są z tego samego materiału.

Oblicz iloraz $\frac{v_{2g}}{v_{1g}}$. Zapisz obliczenia.

Uwzględniając wzory na siłę ciężkości i siłę oporu:

$$m_1 g = \frac{1}{2}CS_1\rho v_{1g}^2 \quad \text{oraz} \quad m_2 g = \frac{1}{2}CS_2\rho v_{2g}^2$$

Podział równań stronami:

$$\frac{m_2 g}{m_1 g} = \frac{\frac{1}{2}CS_2\rho v_{2g}^2}{\frac{1}{2}CS_1\rho v_{1g}^2} \Rightarrow \frac{m_2}{m_1} = \frac{S_2 v_{2g}^2}{S_1 v_{1g}^2} \Rightarrow \frac{v_{2g}^2}{v_{1g}^2} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{S_1}{S_2}$$

$$\frac{v_{2g}}{v_{1g}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{S_1}{S_2}}$$

Uwzględniając zależności masy i przekroju od promienia (masa o stałej gęstości zależy od promienia jak objętość od promienia):

$$\frac{v_{2g}}{v_{1g}} = \sqrt{\frac{R_2^3}{R_1^3} \cdot \frac{R_1^2}{R_2^2}} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} \Rightarrow \frac{v_{2g}}{v_{1g}} = \sqrt{2} \approx 1,41$$