Zadanie 1g, Paper 3, listopad 2022, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2022, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(g). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For positive integers n,q define . We investigate polynomial expressions for these sums and a differentiation method for generating them.
Polecenie
For x≠±1 let F1(x) = [x + x3 − (2n + 1)x2n+1 + (2n − 1)x2n+3]/(1 − x2)2. (i) Show that direct substitution into gives an indeterminate form. (ii) Use l’Hôpital’s rule to prove that the limit is n².
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Write the numerator as N and denominator as D. (i) N(1)=1+1−(2n+1)+(2n−1)=0 and D(1)=0, giving 0/0. (ii)N′ = 1 + 3x2 − (2n + 1)2x2n + (2n − 1)(2n + 3)x2n+2 and D′ = 4x(x2 − 1). Both tend to 0 as x→1, since 4 − (2n + 1)2 + (2n − 1)(2n + 3) = 0. Apply l’Hôpital again. At 1, N′′(1) = 6 − 2n(2n + 1)2 + (2n − 1)(2n + 3)(2n + 2) = 8n2, while D′′(1) = 8. Thus the limit is 8n²/8=n². All functions are differentiable near 1 and D″ is nonzero there.
Schemat punktowania
(i) R1:show numerator and denominator both approach 0 in the stated limit. (ii) M1:differentiate numerator and denominator. A1:correct first derivative ratio. R1:explicitly recognize another 0/0 limit at 1. M1:apply a second differentiation. A1:correct evaluated ratio 8n²/8 leading to n². The second differentiation and final accuracy marks are independent of the intermediate R1.
Komentarz. Paper 3: graphic display calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact expressions except for requested numerical approximations. All nonstandard surface formulae are supplied.