Matematyka AA IB HL — listopad 2022, Paper 3 (zadania wzorowane)

Zadania wzorowane na pytaniach z tego arkusza: te same umiejętności, format i punktacja, inne dane i kontekst. Treści arkusza IB nie publikujemy.

W bazie 12 zadań z tego arkusza, razem 55 punktów, każde z kluczem i schematem punktowania.

IB Mathematics AA (egzaminy od 2021) · 12 zad. w bazie

Rozwiąż arkuszwynik na końcuDodaj cały arkusz do zestawu

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1a

Show that S₁(n) = n².

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

For n=1,2,3, the values of S₂(n) are 1,10,p. (i) State p. (ii) Suppose S₂(n) = a₁n + a₂n² + a₃n³ for rational coefficients a₁,a₂,a₃. Write three linear equations for these coefficients. (iii) Hence determine the coefficients.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

Let F(x) = x + x³ + x⁵ + ⋯ + x²ⁿ⁻¹. Show that $xF\prime(x)=\sum_{i=1}^n(2i-1)x^{2i-1}$ .

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane9 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

Define $F_0(x)=\sum_{i=1}^n x^{2i-1}$ and F_q(x) = xF_q−1′(x) for q≥1. (i) Show that $F_2(x)=\sum_{i=1}^n(2i-1)^2x^{2i-1}$ . (ii) Prove by induction on q that $F_q(x)=\sum_{i=1}^n(2i-1)^q x^{2i-1}$ for q≥1. (iii) Write F_q(1) in sigma notation.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

For F(x) = x + x³ + ⋯ + x²ⁿ⁻¹, use a geometric sum to show that F(x) = x(1 − x²ⁿ)/(1 − x²) whenever x≠±1.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

Let F(x) = x(1 − x²ⁿ)/(1 − x²) for x≠±1 and F₁ = xF′. Show that F₁(x) = [x + x³ − (2n + 1)x²ⁿ⁺¹ + (2n − 1)x²ⁿ⁺³]/(1 − x²)².

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1g

For x≠±1 let F₁(x) = [x + x³ − (2n + 1)x²ⁿ⁺¹ + (2n − 1)x²ⁿ⁺³]/(1 − x²)². (i) Show that direct substitution into $\lim_{x\to1}F_1(x)$ gives an indeterminate form. (ii) Use l’Hôpital’s rule to prove that the limit is n².

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2a

For m=3/2,c=2,h=4, show that $A=20\sqrt{13}\pi$ .

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

In the general frustum, the smaller radius is r=c. (i) Give the larger radius R. (ii) Express the slant height l in terms of m,h. (iii) Use the supplied integral to prove A = π(r + R)l.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Now consider $y=\sqrt{r^2-x^2}$ , with r>0. Find dy/dx for −r<x<r.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

The section $y=\sqrt{r^2-x^2}$ for −r/2 ≤ x ≤ r/2 is rotated about the x-axis. Using the supplied integral, show that the curved surface of this spherical belt has area 2πr². Do not include the flat end disks.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane13 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

Let $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ for −r≤x≤r, with r>0, and let k>0. (i) Describe the transformation from y=f(x) to y=kf(x). (ii) State both x-intercepts of y=kf(x). (iii) Find its derivative for −r<x<r. (iv) The full transformed arc is rotated about the x-axis.…