Zadanie 29, czerwiec 2017: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność $(1{,}5)^{100} < 6^{25}$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Metoda 1: Przepisanie nierówności w postaci $(1{,}5)^{25 \cdot 4} < 6^{25}$ , czyli $[(1{,}5)^4]^{25} < 6^{25}$

Schemat punktowania

1 pkt

przekształcenie nierówności do postaci równoważnej i stwierdzenie, co należy wykazać.

2 pkt

przeprowadzenie pełnego, poprawnego dowodu.

Komentarz

Jeśli zdający posługuje się przybliżeniami dziesietnymi (np. $1{,}5^{100} \approx 2{,}45$ , $6^{25} \approx 1{,}57$ ), może otrzymać maksymalnie 1 punkt. Zdający może także wykorzystać rozkłady ułamków okresowych, o ile są poprawnie zastosowane.

Umiejętności w zadaniu

.

Ponieważ obie strony są dodatnie, wystarczy wykazać $(1{,}5)^4 < 6$ .

Obliczenie: $(1{,}5)^4 = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16} = 5{,}0625 < 6$ .

Stąd wynika teza.

Metoda 2: Przepisanie nierówności w postaci $\left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 6^{25}$ , czyli $3^{100} < 2^{100} \cdot 6^{25} = 2^{100} \cdot 2^{25} \cdot 3^{25} = 2^{125} \cdot 3^{25}$ .

Uproszczenie do $3^{75} < 2^{125}$ (lub równoważnie $3^{3} < 2^{5}$ , czyli $27 < 32$ ).