Zadanie 34, czerwiec 2017: matematyka podstawowa

Polecenie

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA'B'C'D'$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest romb

ABCD

. Przekątna

AC'

tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, a przekątna

BD'

jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Pole powierzchni całkowitej: $16\sqrt{3} + 64$

Rozwiązanie:

Z warunku $|AC'| = 8$

Schemat punktowania

1 pkt

obliczenie długości przekątnej $AC$ podstawy graniastosłupa: $4\sqrt{3}$ , lub obliczenie wysokości graniastosłupa: $4$

Komentarz

Zdający powinien zauważyć, że trójkąt $ACC'$ jest połową trójkąta równobocznego, a trójkąt $BDD'$ jest połową kwadratu. Typowy błąd to pomylenie wariantów kątów nachylenia dla obu przekątnych.

Umiejętności w zadaniu

i kąta

30°

wynika, że w trójkącie prostokątnym

ACC'

(gdzie

C'

jest nad

C

): trójkąt ten to połowa trójkąta równobocznego, więc

|AC| = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}

oraz

h = |CC'| = \frac{8}{2} = 4

.

Z warunku kąta $45°$ dla $BD'$ wynika, że w trójkącie prostokątnym $BDD'$ : $|BD| = h = 4$ .

Przekątne rombu są prostopadłe. Jeśli $E$ to punkt przecięcia przekątnych, to $|AE| = 2\sqrt{3}$ , $|BE| = 2$ .

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABE$ : $a^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 16$ , stąd $a = 4$ .

Pole podstawy: $P_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$ .

Ponieważ $a = h = 4$ , ściana boczna jest kwadratem o polu 16.

Pole całkowite: $P_c = 2 \cdot 8\sqrt{3} + 4 \cdot 16 = 16\sqrt{3} + 64$ .

, lub zapisanie, że

|BD| = h

.

2 pkt

obliczenie długości przekątnej $BD$ podstawy graniastosłupa: $4$ .

3 pkt

obliczenie pola podstawy graniastosłupa: $8\sqrt{3}$ .

4 pkt

obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa: $4$ , lub obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa z błędami rachunkowymi.

5 pkt

obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: $16\sqrt{3} + 64$ .