Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Liczba 9 2 − 4 7 − 7 9^{2-4\sqrt{7}-\sqrt{7}} 9 2 − 4 7 − 7 jest równa A. 4 B. 10 C. − 10 -10 − 10 D. − 4 -4 − 4
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Iloczyn dodatnich liczb a a a i b b b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a a a jest równe 10% liczby b b b . Stąd wynika, że b b b jest równe A. 9 B. 18 C. 45 D. 50
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Suma 4 24 + 4 24 + 4 24 + 4 24 4^{24}+4^{24}+4^{24}+4^{24} 4 24 + 4 24 + 4 24 + 4 24 jest równa A. 4 24 4^{24} 4 24 B. 4 25 4^{25} 4 25 C. 4 48 4^{48} 4 48 D. 4 49 4^{49} 4 49
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Liczba log 3 27 − log 3 1 \log_3 27 - \log_3 1 log 3 27 − log 3 1 jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Dla każdej liczby rzeczywistej x x x wyrażenie x 6 − 3 x 3 − 2 x^6 - 3x^3 - 2 x 6 − 3 x 3 − 2 jest równe A. ( x 3 + 2 ) ( x 3 − 1 ) (x^3+2)(x^3-1) ( x 3 + 2 ) ( x 3 − 1 ) B. ( x 3 − 3 ) ( x 3 + 1 ) (x^3-3)(x^3+1) ( x 3 − 3 ) ( x 3 + 1 ) C. ( x 4 + 2 ) ( x 2 − 1 ) (x^4+2)(x^2-1) ( x 4 + 2 ) ( x 2 − 1 ) D. ( x 4 + 1 ) ( x 2 − 3 ) (x^4+1)(x^2-3) ( x 4 + 1 ) ( x 2 − 3 )
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Wartość wyrażenia ( a − b ) 2 (a-b)^2 ( a − b ) 2 dla a = 2 3 a=2\sqrt{3} a = 2 3 i b = 75 b=\sqrt{75} b = 75 jest równa A. 9 B. 27 C. 63 D. 147
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Funkcja liniowa f f f jest określona wzorem f ( x ) = 7 3 x − 21 f(x)=\frac{7}{3}x-21 f ( x ) = 3 7 x − 21 . Miejscem zerowym funkcji f f f jest A. − 9 -9 − 9 B. − 7 3 -\frac{7}{3} − 3 7 C. 9 D. 21
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Rozwiązaniem układu równań { x + y = 1 x − y = b \begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases} { x + y = 1 x − y = b z niewiadomymi x x x i y y y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że A. b < − 1 b<-1 b < − 1 B. b = − 1 b=-1 b = − 1 C. − 1 < b < 1 -1<b<1 − 1 < b < 1 D. b ≥ 1 b\geq 1 b ≥ 1
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Funkcja kwadratowa f f f jest określona wzorem f ( x ) = x 2 + b x + c f(x)=x^2+bx+c f ( x ) = x 2 + b x + c oraz f ( − 1 ) = f ( 3 ) = 1 f(-1)=f(3)=1 f ( − 1 ) = f ( 3 ) = 1 . Współczynnik b b b jest równy A. − 2 -2 − 2 B. − 1 -1 − 1 C. 0 D. 3
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Równanie ( x 2 − 3 ) ( x 2 + 25 ) = 0 (x^2-3)(x^2+25)=0 ( x 2 − 3 ) ( x 2 + 25 ) = 0 ma dokładnie A. cztery rozwiązania: x = 0 x=0 x = 0 , x = 3 x=3 x = 3 , x = 5 x=5 x = 5 , x = − 5 x=-5 x = − 5 B. trzy rozwiązania: x = 3 x=3 x = 3 , x = 5 x=5 x = 5 , x = − 5 x=-5 x = − 5 C. dwa rozwiązania: x = 0 x=0 x = 0 , x = 3 x=3 x = 3 D. jedno rozwiązanie: x = 3 x=3 x = 3
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Funkcja kwadratowa f f f jest określona wzorem f ( x ) = ( x − 3 ) ( x − 7 ) f(x)=(x-3)(x-7) f ( x ) = ( x − 3 ) ( x − 7 ) . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f f f należy do prostej o równaniu A. y = − 5 y=-5 y = − 5 B. y = 5 y=5 y = 5 C. y = − 4 y=-4 y = − 4 D. y = 4 y=4 y = 4
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Punkt ( 2017 , 0 ) (2017,0) ( 2017 , 0 ) należy do wykresu funkcji f f f określonej wzorem A. f ( x ) = ( x + 2017 ) 2 f(x)=(x+2017)^2 f ( x ) = ( x + 2017 ) 2 B. f ( x ) = x 2 − 2017 f(x)=x^2-2017 f ( x ) = x 2 − 2017 C. f ( x ) = ( x + 2017 ) ( x − 2017 ) f(x)=(x+2017)(x-2017) f ( x ) = ( x + 2017 ) ( x − 2017 ) D. f ( x ) = x 2 + 2017 f(x)=x^2+2017 f ( x ) = x 2 + 2017
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
W ciągu arytmetycznym ( a n ) (a_n) ( a n ) , określonym dla n ≥ 1 n\geq 1 n ≥ 1 , spełniony jest warunek a 1 + a 2 + a 3 = 2 a 1 + 2 a 2 a_1+a_2+a_3=2a_1+2a_2 a 1 + a 2 + a 3 = 2 a 1 + 2 a 2 . Różnica r r r tego ciągu jest równa A. 0 B. 1 3 \frac{1}{3} 3 1 C. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 D. 1
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Dany jest ciąg geometryczny ( 2 x 3 , 2 x 2 , 4 x , 8 ) (2x^3, 2x^2, 4x, 8) ( 2 x 3 , 2 x 2 , 4 x , 8 ) o wyrazach nieujemnych. Wtedy A. x = 0 x=0 x = 0 B. x = 1 x=1 x = 1 C. x = 2 x=2 x = 2 D. x = 4 x=4 x = 4
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i tan α = 12 5 \tan\alpha=\frac{12}{5} tan α = 5 12 . Wówczas sin α \sin\alpha sin α jest równy A. 5 17 \frac{5}{17} 17 5 B. 12 17 \frac{12}{17} 17 12 C. 5 13 \frac{5}{13} 13 5 D. 12 13 \frac{12}{13} 13 12
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
W okręgu o środku O O O dany jest kąt wpisany A B C ABC A B C o mierze 20 ° 20° 20° (patrz rysunek). Miara kąta C A O CAO C A O jest równa A. 85 ° 85° 85° B. 70 ° 70° 70° C. 80 ° 80° 80° D. 75 ° 75° 75°
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte trudne (szac.)
Odcinek B D BD B D jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego A B C ABC A B C trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne A C AC A C i B C BC B C mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ \varphi φ kąta D B C DBC D B C spełnia warunek A. 20 ° < φ < 25 ° 20°<\varphi<25° 20° < φ < 25° B. 25 ° < φ < 30 ° 25°<\varphi<30° 25° < φ < 30° C.…
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Prosta przechodząca przez punkt ( − 10 , 5 ) (-10,5) ( − 10 , 5 ) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu A. y = − 2 x + 4 y=-2x+4 y = − 2 x + 4 B. y = 1 2 x y=\frac{1}{2}x y = 2 1 x C. y = − 1 2 x + 1 y=-\frac{1}{2}x+1 y = − 2 1 x + 1 D. y = 2 x − 4 y=2x-4 y = 2 x − 4
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Punkty ( − 21 , 11 ) (-21,11) ( − 21 , 11 ) i ( 3 , 17 ) (3,17) ( 3 , 17 ) są końcami odcinka A B AB A B . Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi O x Ox O x układu współrzędnych jest odcinek A ′ B ′ A'B' A ′ B ′ . Środkiem odcinka A ′ B ′ A'B' A ′ B ′ jest punkt o współrzędnych A. ( − 9 , − 14 ) (-9,-14) ( − 9 , − 14 ) B. ( − 9 , 14 ) (-9,14) ( − 9 , 14 ) C. ( − 9 , − 14 ) (-9,-14) ( − 9 , − 14 ) D. ( 9 , 14 ) (9,14) ( 9 , 14 )
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Trójkąt A B C ABC A B C jest podobny do trójkąta A ′ B ′ C ′ A'B'C' A ′ B ′ C ′ w skali 5 2 \frac{5}{2} 2 5 , przy czym 5 2 A B = A ′ B ′ \frac{5}{2}AB=A'B' 2 5 A B = A ′ B ′ . Stosunek pola trójkąta A B C ABC A B C do pola trójkąta A ′ B ′ C ′ A'B'C' A ′ B ′ C ′ jest równy A. 4 25 \frac{4}{25} 25 4 B. 2 5 \frac{2}{5} 5 2 C. 5 2 \frac{5}{2} 2 5 D. 25 4 \frac{25}{4} 4 25
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 13 1 3 π 13\frac{1}{3}\pi 13 3 1 π . Długość boku tego trójkąta jest równa A. π 3 \pi\sqrt{3} π 3 B. π \pi π C. 3 π 3\pi 3 π D. 3 π 3\pi 3 π
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Pole trójkąta prostokątnego ABC, przedstawionego na rysunku, jest równe A. 32 3 32\sqrt{3} 32 3 B. 16 3 16\sqrt{3} 16 3 C. 8 3 8\sqrt{3} 8 3 D. 4 3 4\sqrt{3} 4 3
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Długość przekątnej sześcianu jest równa 6 6 6 . Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 72 72 72 B. 48 48 48 C. 152 152 152 D. 108 108 108
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16 π 16\pi 16 π , a promień jego podstawy ma długość 2 2 2 . Wysokość tego walca jest równa A. 4 4 4 B. 8 8 8 C. 4 π 4\pi 4 π D. 8 π 8\pi 8 π
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20 20 20 , jest równe A. 1 6 \frac{1}{6} 6 1 B. 5 36 \frac{5}{36} 36 5 C. 1 9 \frac{1}{9} 9 1 D. 2 9 \frac{2}{9} 9 2
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Rozwiąż nierówność ( x − 1 2 ) ( x − 1 2 ) > ( x − 1 3 ) ( x + 1 3 ) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) > \left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right) ( x − 2 1 ) ( x − 2 1 ) > ( x − 3 1 ) ( x + 3 1 ) .
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i spełniona jest równość sin α + cos α = 7 2 \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{7}{2} sin α + cos α = 2 7 . Oblicz wartość wyrażenia ( sin α − cos α ) 2 (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 ( sin α − cos α ) 2 .
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt otwarte średnie (szac.)
Dwusieczna kąta ostrego ∠ A B C \angle ABC ∠ A B C przecina przyprostokątną A C AC A C trójkąta prostokątnego A B C ABC A B C w punkcie D D D . Udowodnij, że jeżeli A D = B D AD = BD A D = B D , to C D = 1 2 B D CD = \frac{1}{2} BD C D = 2 1 B D .
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt otwarte trudne (szac.)
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność ( 1,5 ) 100 < 6 25 (1{,}5)^{100} < 6^{25} ( 1 , 5 ) 100 < 6 25 .
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ( a n ) (a_n) ( a n ) , określonego dla n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1 , jest równa 30 30 30 . Ponadto a 30 = 30 a_{30} = 30 a 30 = 30 . Oblicz różnicę tego ciągu.
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Ze zbioru liczb { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 } \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\} { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 } losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę ( a , b ) (a, b) ( a , b ) , gdzie a a a jest wynikiem pierwszego losowania, b b b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile…
Matematyka Czerwiec 2017 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość 26 \sqrt{26} 26 . Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 3 : 2 3 : 2 3 : 2 . Oblicz pole tego trapezu.
Matematyka Czerwiec 2017 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Punkty A = ( − 2 , − 8 ) A = (-2, -8) A = ( − 2 , − 8 ) i B = ( 14 , − 8 ) B = (14, -8) B = ( 14 , − 8 ) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym A B = A C AB = AC A B = A C . Wysokość A D AD A D tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y = 1 2 x − 7 y = \frac{1}{2}x - 7 y = 2 1 x − 7 . Oblicz współrzędne wierzchołka C C C tego trójkąta.
Matematyka Czerwiec 2017 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Podstawą graniastosłupa prostego A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ ABCDA'B'C'D' A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ jest romb A B C D ABCD A B C D . Przekątna A C ′ AC' A C ′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, a przekątna B D ′ BD' B D ′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45°. Oblicz pole…