Zadanie 32, maj 2017: matematyka podstawowa

Polecenie

Dane są punkty $A = (-4, 0)$ i $M = (2, 9)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

oraz prosta

k

o równaniu

y = -2x + 10

. Wierzchołek

B

trójkąta

ABC

to punkt przecięcia prostej

k

z osią

Ox

układu współrzędnych, a wierzchołek

C

jest punktem przecięcia prostej

k

z prostą

AM

. Oblicz pole trójkąta

ABC

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $\frac{243}{7}$ (lub $34{,}714$ ).

Rozwiązanie (I sposób):

Prosta $AM$

Schemat punktowania

1 pkt

wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej $AM$ : $a = \frac{3}{2}$ albo wyznaczy współrzędne punktu $B = (5, 0)$

Komentarz

Akceptujemy przybliżenie np. 34,714. Mając współrzędne wierzchołków, można także użyć wzoru na pole ze współrzędnych. Studenci mogą wybrać dowolny z trzech pokazanych sposobów.

Umiejętności w zadaniu

przez punkty

A = (-4, 0)

i

M = (2, 9)

ma równanie

y = \frac{3}{2}x + 6

.

Prosta $k$ przecina oś $Ox$ w punkcie $B = (5, 0)$ , stąd $|AB| = 9$ .

Rozwiązując układ: $\frac{3}{2}x + 6 = -2x + 10$ otrzymujemy $x = \frac{8}{7}$ , $y = \frac{54}{7}$ .

Zatem $C = (\frac{8}{7}, \frac{54}{7})$ , wysokość $h = \frac{54}{7}$ .

Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{54}{7} = \frac{243}{7}$ .

II sposób: Prosta równoległa do $k$ przez $M$ : $y = -2x + 13$ , przecina oś $Ox$ w $N = (6{,}5, 0)$ , $|AN| = 10{,}5 = \frac{21}{2}$ . Skala podobieństwa $s = \frac{|AB|}{|AN|} = \frac{9}{10{,}5} = \frac{6}{7}$ . Pole trójkąta $ANM$ to $\frac{189}{4}$ , pole $ABC = s^2 \cdot \frac{189}{4} = \frac{243}{7}$ .

III sposób: Z warunku $\frac{3}{2} \cdot AD = 3$ i $AD = 9 - \frac{1}{2}h$ wynika $h = \frac{54}{7}$ , stąd pole $\frac{243}{7}$ .

i na tym poprzestanie.

2 pkt

zapisze równanie prostej $AM$ : $y = \frac{3}{2}x + 6$ albo zapisze równanie prostej $MN = -2x + 13$ i zauważy podobieństwo trójkątów, albo zapisze zależność $\frac{CD}{AD} = \frac{3}{2}$ i na tym poprzestanie.

3 pkt

obliczy długość podstawy $|AB| = 9$ i zapisze równanie do wyznaczenia współrzędnych punktu $C$ , albo obliczy współrzędne $C = (\frac{8}{7}, \frac{54}{7})$ , albo obliczy skalę podobieństwa $s = \frac{6}{7}$ i pole trójkąta $ANM = \frac{189}{4}$ z warunkiem $P_{ABC} = s^2 P_{ANM}$ , albo zapisze równanie jednozmiennowe na wysokość.

4 pkt

obliczy drugą współrzędną wierzchołka $C$ i długość podstawy $|AB| = 9$ , albo obliczy współrzędne $B$ i $C$ , albo obliczy skalę i pole $ANM$ z zależnością iloczynu, albo obliczy wysokość $h = \frac{54}{7}$ i na tym poprzestanie.

5 pkt

obliczy pole trójkąta $ABC = \frac{243}{7}$ .