Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Objętość ostrosłupa: $V = \frac{\sqrt{209}}{12}$.

Rozwiązanie:

Z warunku pola powierzchni bocznej: $\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot \frac{5\sqrt{3}}{4}$ otrzymujemy $a = 2$.

Odstęp środka podstawy od krawędzi: $AO = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $DOS$: $h^2 = H^2 + AO^2$, czyli $(\frac{5\sqrt{3}}{4})^2 = H^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2$.

Stąd $\frac{75}{16} = H^2 + \frac{1}{3}$, zatem $H^2 = \frac{209}{48}$, czyli $H = \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}$.

Pole podstawy: $P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Objętość: $V = \frac{1}{3} P_p H = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{209}}{12}$.