Zadanie 3, maj 2023: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $(2n + 1)^2 - 1$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest podzielna przez

8

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$(2n+1)^2-1 = 4n^2+4n+1-1 = 4n(n+1)$

Schemat punktowania

2 pkt

przekształcenie wyrażenia $(2n+1)^2-1$ do postaci iloczynu $4n(n+1)$ oraz stwierdzenie, że iloczyn

Komentarz

Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości $n$ , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Umiejętności w zadaniu

Dowody podzielności i reszt Ćwicz podobne

Ponieważ liczby $n$ oraz $n+1$ są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą, zatem iloczyn $n(n+1)$ jest liczbą parzystą, więc iloczyn $4n(n+1)$ jest podzielny przez $8$ .

n(n+1)

jest liczbą parzystą, lub przekształcenie wyrażenia

(2n+1)^2-1

do postaci

4(n^2+n)

i uzasadnienie, że suma

n^2+n

jest liczbą parzystą, lub przekształcenie wyrażenia

(2n+1)^2-1

do postaci

2n(2n+2)

oraz stwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą podzielną przez

4

.

1 pkt

przekształcenie wyrażenia $(2n+1)^2-1$ do postaci $4n(n+1)$ lub $4(n^2+n)$ lub $2n(2n+2)$ , lub przekształcenie wyrażenia $(2n+1)^2-1$ do postaci $4n^2+4n$ i stwierdzenie, że ta suma jest liczbą podzielną przez $4$ , lub rozpatrzenie przypadku, gdy $n=2l$ (gdzie $l \in \mathbb{N}$ ), lub rozpatrzenie przypadku, gdy $n=2l+1$ (gdzie $l \in \mathbb{N}$ ).