Zadanie 26, maj 2023: matematyka podstawowa

Polecenie

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek).

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Objętość: $V = 72$ (j³). Pole powierzchni całkowitej: $P_c = 144 + 48\sqrt{3}$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawna metoda, obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej.

3 pkt

poprawne obliczenie wymiarów ostrosłupa (wysokości, krawędzi podstawy) i prawidłowe zastosowanie metody do obliczenia objętości oraz pola.

2 pkt

poprawne obliczenie niektórych wymiarów ostrosłupa (np. wysokości, długości krawędzi) albo zastosowanie prawidłowej metody do jednego z poleconych elementów.

1 pkt

zastosowanie prawidłowej metody z częściowymi obliczeniami lub znacznymi błędami w wykonaniu.

Komentarz

Wysokość ściany bocznej to apotema ostrosłupa. Z kąta $30°$ wynika: $h = 6 \sin 30° = 3$ (wysokość ostrosłupa), $d = 6 \cos 30° = 3\sqrt{3}$

Umiejętności w zadaniu

(j²).

Z trójkąta prostokątnego: wysokość ostrosłupa $h = 6 \sin 30° = 3$ , odległość od środka podstawy do środka krawędzi: $d = 6 \cos 30° = 3\sqrt{3}$

Długość krawędzi podstawy: $a = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

Pole podstawy: $P_p = (6\sqrt{3})^2 = 108$

Objętość: $V = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108$ lub $V = 72$ (w zależności od interpretacji)

Pole czterech trójkątów bocznych: $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}$ lub $P_b = 48\sqrt{3}$

Pole całkowite: $P_c = P_p + P_b$

(odlegość od środka podstawy do środka krawędzi). Stąd krawędź podstawy

a = 6\sqrt{3}

.