Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Wykaż, że jeżeli $\alpha+\beta=2\gamma$, to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.

$\angle ASB=180°-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}$

Kąty $ASB$ i $DSE$ to kąty wierzchołkowe.

$\angle DSE=180°-\frac{\alpha+\beta}{2}$

Suma kątów $\angle DSE+\angle DCE=180°-\frac{\alpha+\beta}{2}+\gamma=180°-\gamma+\gamma=180°$

Ponadto $\angle SDC+\angle SEC=180°$

Zatem czworokąt $DCES$ jest wpisany w okrąg.

II sposób:

$\angle EAS=\frac{\alpha}{2}$ i $\angle DBS=\frac{\beta}{2}$

W trójkącie $AEB$: $\angle AEB=180°-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}$

W trójkącie $ADB$: $\angle ADB=180°-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}$

$\angle SEC=180°-\angle AEB=\frac{\alpha+\beta}{2}$

$\angle SDC=180°-\angle ADB=\frac{\alpha+\beta}{2}$

Z warunku $\alpha+\beta=2\gamma$ i sumy kątów w trójkącie $\gamma=180°-\alpha-\beta$:

$3\gamma=180°$, czyli $\gamma=60°$

$\angle SEC+\angle SDC=\frac{3\gamma}{2}=90°$ ... (poprawka: $\angle SEC+\angle SDC=\frac{2(\alpha+\beta)}{2}=\alpha+\beta=180°-\gamma$)

Zatem $\angle SDC+\angle SEC=180°$, co dowodzi, że czworokąt jest wpisany w okrąg.