$P = (252 - 144\sqrt{3})\pi$

Rozwiązanie:

1. Oznaczamy $\angle CAO = \angle DBO = \alpha$. Z własności kątów naprzemianległych: $\angle ACD = \angle BDC = \alpha$.

2. Ponieważ AB jest średnicą: $\angle ACB = 90°$

3. Z warunku, że ABCD jest wpisany w okrąg: $2\alpha + \beta = 90°$

4. Trójkąt AOD jest równoboczny (bo $|AO| = |OD| = 6$), więc $\alpha + \beta = 60°$

5. Z powyższych warunków: $\alpha = \beta = 30°$

6. Wysokość trapezu (równa wysokości trójkąta równobocznego): $h = 3\sqrt{3}$

7. Trójkąty ABP i CDP są podobne w skali 2:1, stąd $|PO| = \frac{2}{3}h = 2\sqrt{3}$

8. $|AC| = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 3 = 4\sqrt{3}$

9. Pole trójkąta ABP: $P_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

10. Obwód trójkąta ABP: $L = 12 + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 12 + 8\sqrt{3}$

11. Promień koła wpisanego: $r = \frac{P_{ABP}}{s} = \frac{12\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}} = 12 - 6\sqrt{3}$

12. Pole koła: $P = \pi r^2 = \pi(12-6\sqrt{3})^2 = (252-144\sqrt{3})\pi$