Matura z matematyki, czerwiec 2017

MatematykaCzerwiec 20171 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 1

Równanie $2^{|x|}-4=x^2-|x|$ ma dokładnie A. dwa rozwiązania rzeczywiste. B. jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. cztery rozwiązania rzeczywiste. D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

MatematykaCzerwiec 20171 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 2

Liczba $\log_4 25 + \log_2 10$ jest równa A. $\log_2 15$ B. $\log_2 50$ C. $\log_2 210$ D. $\log_2 635$

MatematykaCzerwiec 20171 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 3

Punkt $P' = (-3, 3)$ jest obrazem punktu $P = (1, 3)$ w jednokładności o środku w punkcie $S = (-2, 2)$. Skala tej jednokładności jest równa A. $\frac{5}{3}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $2$ D. $3$

MatematykaCzerwiec 20171 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 4

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2}{x-8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 4$. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu $x=4+2\sqrt{2}$ jest równa A. $-\frac{1}{6}$ B. $2+2\sqrt{2}$ C. $-1$ D. $2\sqrt{2}$

MatematykaCzerwiec 20171 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 5

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\frac{1}{4}$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. $\frac{3}{7}$ B. $\frac{1}{7}$ C. $\frac{7}{3}$ D. $7$

MatematykaCzerwiec 20172 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa $f(x)=-x^2+bx+c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1=-1$ i $x_2=12$. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

MatematykaCzerwiec 20173 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 7

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2+5y^2-4xy+6x+9 \geq 0$.

MatematykaCzerwiec 20173 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 8

Wykaż, że jeżeli $\alpha+\beta=2\gamma$, to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20174 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 15. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

MatematykaCzerwiec 20175 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_n)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_n)$. Wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124.…

MatematykaCzerwiec 20174 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11

Rozwiąż równanie $3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.

MatematykaCzerwiec 20175 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12

Prosta $l$, na której leży punkt $P=(8, 2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej $l$.

MatematykaCzerwiec 20176 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 13

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - 2mx + 2m + 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty, 3)$.

MatematykaCzerwiec 20176 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 14

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

MatematykaCzerwiec 20177 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:2 oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej…