Funkcja: $P_c(x) = 4x^2 + \frac{24}{x}$ dla $x \in (1,2)$

I sposób (zmienna x):

1. Niech $x$ – długość krótszej krawędzi, $2x$ – druga krawędź, $\frac{8}{2x^2} = \frac{4}{x^2}$

2. Pole całkowite: $P_c(x) = 2(x \cdot 2x) + 2(x \cdot \frac{4}{x^2}) + 2(2x \cdot \frac{4}{x^2}) = 4x^2 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x} = 4x^2 + \frac{24}{x}$

3. Suma krawędzi: $4(x + 2x + \frac{4}{x^2}) < 28 \Rightarrow 3x + \frac{4}{x^2} < 7 \Rightarrow 3x^3 - 7x^2 + 4 < 0$

4. Rozwiązując nierówność: $(x-1)(3x^2 - 4x - 4) < 0$, pierwiastkami są $x = 1, x = 2, x = -\frac{2}{3}$

5. Pochodna: $P_c'(x) = 8x - \frac{24}{x^2} = \frac{8(x^3 - 3)}{x^2}$

6. $P_c'(x) = 0$ gdy $x = \sqrt[3]{3}$

7. Funkcja maleje na $(1, \sqrt[3]{3})$, rośnie na $(\sqrt[3]{3}, 2)$

8. Wymiary: $\sqrt[3]{3}, 2\sqrt[3]{3}, \frac{4}{\sqrt[3]{9}} = \frac{4\sqrt[3]{3}}{3}$

II sposób (zmienna h):

1. Niech $x$ – długość krótszej krawędzi, $2x$ – druga krawędź, $h$ – trzecia krawędź

2. Objętość: $2x^2 h = 8 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{h}$

3. Pole całkowite: $P_c(h) = 4x^2 + 6xh = \frac{16}{h} + 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{h}} \cdot h = \frac{16}{h} + 12\sqrt{h}$

4. Suma krawędzi: $4(2x + h) < 28 \Rightarrow h + \sqrt{h} < 7$

5. Pochodna: $P_c'(h) = -\frac{16}{h^2} + \frac{6}{\sqrt{h}}$

6. $P_c'(h) = 0$ gdy $h = \frac{64}{9}$

7. Wymiary: $\sqrt[3]{3}, 2\sqrt[3]{3}, \frac{4\sqrt[3]{9}}{3}$