Zadanie 7, czerwiec 2017: matematyka rozszerzona

Polecenie

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

$x^2+5y^2-4xy+6x+9 \geq 0$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób: Przekształcenie równoważne:

$x^2-4xy+4y^2+6x+x^2+9 \geq 0$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie nierówności w postaci ułatwiającej wykazanie (np. $x^2-4xy+4y^2+6x+x^2+9 \geq 0$

Komentarz

Zdający może rozpatrywać funkcję argumentu $y$ z parametrem $x$ . Za ułożenie nierówności $\Delta \leq 0$ otrzymuje 2 punkty, za jej rozwiązanie 3 punkty.

Umiejętności w zadaniu

Wzory skróconego mnożenia Ćwicz podobne

$(x-2y)^2+(x+3)^2 \geq 0$

II sposób: Traktowanie jako funkcja kwadratowa względem $x$ z parametrem $y$ :

$f(x)=x^2+(6-4y)x+(5y^2+9)$

Wyróżnik $\Delta=(6-4y)^2-4(5y^2+9)=-4(y+3)^2 \leq 0$

Ramiona paraboli zwrócone do góry, więc $f(x) \geq 0$ .

).

2 pkt

zapisanie postaci $(x-2y)^2+(x+3)^2 \geq 0$ bez uzasadnienia.

3 pkt

pełne rozumowanie.