Zadanie 13, czerwiec 2017: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - 2mx + 2m + 1 = 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału

(-\infty, 3)

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$m \in (-\infty, -2)$

I sposób:

1. Obliczamy wyróżnik: $\Delta = 4m^2 - 4(2m+1) = 4m^2 - 8m - 4 = 4(m^2 - 2m - 1)$

Schemat punktowania

1 pkt

poprawne rozwiązanie warunku $\Delta > 0$ .

4 pkt

poprawne rozwiązanie układu warunków dotyczących położenia pierwiastków.

1 pkt

poprawne wyznaczenie części wspólnej i podanie odpowiedzi.

Komentarz

Jeśli zdający zapisze $\Delta \geq 0$ , otrzymuje 0 punktów za warunek na pierwiastki różne. Obydwa sposoby (rozkład warunku na pierwiastkami pierwiastkami lub warunki dla wierzchołka paraboli) są równoważne.

Umiejętności w zadaniu

2. Warunek $\Delta > 0$ : $m^2 - 2m - 1 > 0 \Rightarrow m \in (-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}, \infty)$

3. Warunki: $x_1 + x_2 - 6 < 0$ oraz $(x_1 - 3)(x_2 - 3) > 0$

4. $(x_1 - 3) + (x_2 - 3) = 2m - 6 < 0 \Rightarrow m < 3$

5. $(x_1 - 3)(x_2 - 3) = 2m + 1 - 3(2m) + 9 = 2m + 1 - 6m + 9 = -4m + 10 > 0 \Rightarrow m < 2.5$

6. Część wspólna: $m \in (-\infty, -2)$

II sposób: Warunki dla funkcji $f(x) = x^2 - 2mx + 2m + 1$ :

- $f(3) > 0$ : $9 - 6m + 2m + 1 > 0 \Rightarrow 10 - 4m > 0 \Rightarrow m < 2.5$

- $x_w < 3$ : $m < 3$

- $\Delta > 0$ : $m \in (-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}, \infty)$

Część wspólna: $m \in (-\infty, -2)$