Zadanie 28, specimen 2015: matematyka podstawowa

Polecenie

Uzasadnij, że liczba $4^{12} + 4^{13} + 4^{14}$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest podzielna przez 42.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcenie: $4^{12} + 4^{13} + 4^{14} = 4^{12}(1 + 4 + 16) = 4^{12} \cdot 21 = 21 \cdot 4^{12}$

Schemat punktowania

1 pkt

wykaże podzielność przez 21.

2 pkt

wykaże podzielność przez 42 (kombinując podzielność przez 21 i parzystość).

Komentarz

Klucz podaje trzy sposoby; wszystkie wymagają wykazania zarówno podzielności przez 21, jak i parzystości.

Umiejętności w zadaniu

.

Liczba $21 \cdot 4^{12} = 21 \cdot (2^2)^{12} = 21 \cdot 2^{24}$ jest podzielna przez 21.

Ponadto $4^{12}$ jest parzyste (jako potęga liczby parzystej), więc całe wyrażenie jest parzyste.

Jako parzysta i podzielna przez 21, liczba jest podzielna przez $\text{NWW}(2, 21) = 42$ .

Alternatywnie: $4^{12} \cdot 21 = 2^{24} \cdot 21 = 4 \cdot 2^{22} \cdot 21 = 4 \cdot 21 \cdot 2^{22}$ jest podzielne przez 42.