Zadanie 32, specimen 2015: matematyka podstawowa

Polecenie

Dane są wierzchołki trójkąta $ABC$ : $A(2, 2)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

,

B(9, 5)

i

C(3, 9)

. Z wierzchołka

C

poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok

AB

w punkcie

D

. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt

D

i równoległej do boku

BC

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Krok 1: Współczynnik kierunkowy $AB$ : $a_{AB} = \frac{5 - 2}{9 - 2} = \frac{3}{7}$

Schemat punktowania

1 pkt

Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej $AB$ lub $BC$ : $a_{AB} = \frac{3}{7}$

Komentarz

Zadanie wieloetapowe wymagające: znajomości współczynnika kierunkowego, warunku prostopadłości, rozwiązania układu równań, warunku równoległości. Najważniejsze jest znalezienie punktu $D$ .

Umiejętności w zadaniu

.

Równanie prostej $AB$ przechodzące przez $(2, 2)$ : $y = \frac{3}{7}x + \frac{8}{7}$ .

Krok 2: Wysokość z $C$ jest prostopadła do $AB$ , więc $a_\perp = -\frac{7}{3}$ .

Równanie wysokości przez $C(3, 9)$ : $y = -\frac{7}{3}x + 16$ .

Krok 3: Punkt $D$ to przecięcie $AB$ i wysokości.

$\frac{3}{7}x + \frac{8}{7} = -\frac{7}{3}x + 16$ .

Rozwiązując: $x = \frac{156}{29}$ , $y = \frac{100}{29}$ , czyli $D\left(\frac{156}{29}, \frac{100}{29}\right)$ .

Krok 4: Współczynnik kierunkowy $BC$ : $a_{BC} = \frac{9 - 5}{3 - 9} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$ .

Równanie prostej równoległej do $BC$ przez $D$ : $y = -\frac{2}{3}x + b$ .

Podstawienie $D$ : $\frac{100}{29} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{156}{29} + b$ , stąd $b = \frac{1729}{87}$ lub uproszczone $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1729}{87}$ .

Albo: $4x + 6y - 1100 = 0$ lub równoważnie $2x + 3y = 550$ (po podzieleniu przez 2).

lub

a_{BC} = -\frac{2}{3}

.

2 pkt

Wyznaczenie równań prostych $AB$ i $CD$ (wysokości).

3 pkt

Znalezienie punktu $D$ : $D\left(\frac{156}{29}, \frac{100}{29}\right)$ .

4 pkt

Rozwiązanie z błędem rachunkowym w wyznaczeniu $D$ (ale mimo tego podjęcie próby znalezienia szukanej prostej).

5 pkt

Pełne rozwiązanie: równanie prostej równoległej do $BC$ przez $D$ .