Zadanie 28, maj 2018: matematyka podstawowa

Polecenie

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b$ prawdziwa jest nierówność $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{a+b}$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcenie równoważne: $\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisze nierówność w postaci $(a-b)^2 \geq 0$ lub jej równoważnej postaci i na tym zakończy, lub dalej popełni błędy.

2 pkt

przeprowadzi pełne rozumowanie.

Komentarz

Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości $a$ i $b$ , otrzymuje 0 punktów. Jeżeli zakończy rozumowanie na $(a-b)^2 \geq 0$ bez powołania się na twierdzenie, otrzymuje 1 punkt.

Umiejętności w zadaniu

można sprowadzić do

4(ab) \leq (a+b)^2

, czyli

(a-b)^2 \geq 0

.

Ponieważ $a+b > 0$ i $ab > 0$ , mnożymy obie strony przez $2ab(a+b)$ i otrzymujemy $2a^2 + 2ab + 2b^2 \geq 4ab$ , co daje $(a-b)^2 \geq 0$ .