Zadanie 32, czerwiec 2026: matematyka podstawowa

Polecenie

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Rozważamy wszystkie trójkąty

DEF

spełniające jednocześnie następujące warunki:

• punkt $E$ leży na boku $AB$ kwadratu $ABCD$

• punkt $F$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$

• $|CF| = \frac{1}{2} \cdot |EB| = x$ , gdzie $x \in (0, 2)$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$ .

Wyznacz wzór funkcji $P$ zmiennej $x$ , gdzie $x \in (0, 2)$ . Oblicz długość $x$ odcinka $CF$ , dla której pole trójkąta $DEF$ jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$P(x) = x^2 - 2x + 8$ , $x = 1$

Za pomocą pola trójkąta $DEF$

Schemat punktowania

3 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np. $P(x) = x^2 - 2x + 8$ oraz $x = 1$

Komentarz

Jeżeli zdający zapisze jedynie, że szukaną wartością $x$ jest liczba $1$ , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający nie zapisze pola trójkąta $DEF$ jako funkcji $P$ zmiennej $x$ , a jedynie obliczy wartości pola dla wybranych długości odcinka $CF$

Umiejętności w zadaniu

obliczanego ze wzoru:

$P_{DEF} = 16 - \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (4-x) - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (4-2x)$

$P_{DEF} = 16 - x(4-x) - 2x - 2(4-2x)$

$P_{DEF} = 16 - 4x + x^2 - 2x - 8 + 4x$

$P(x) = x^2 - 2x + 8$

Aby znaleźć minimum, bierzemy pochodną: $P'(x) = 2x - 2 = 0$

Stąd: $x = 1$

Alternatywnie: $P(x) = (x-1)^2 + 7$ osiąga minimum dla $x = 1$ .

.

2 pkt

wyznaczenie poprawnego wzoru na pole trójkąta $DEF$ w zależności od zmiennej $x$ , np. $P(x) = 16 - \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (4-x) - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (4-2x)$ .

1 pkt

zapisanie wzoru na pole trójkąta $DEF$ w zależności od pól trójkątów $EBF$ , $FCD$ , $DAE$ , np. $P_{DEF} = 16 - P_{EBF} - P_{FCD} - P_{DAE}$ ALBO zapisanie pól co najmniej dwóch spośród trójkątów $EBF$ , $FCD$ , $DAE$ w zależności od zmiennej $x$ .

i na tej podstawie wskaże najmniejszą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Jeżeli zdający stosuje rachunek różniczkowy i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej funkcji

P

jest najmniejsza wartość funkcji

P

, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.