Zadanie 11, czerwiec 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(o_n)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

o równaniach

x^2 + y^2 = 11 - 2^{-n}

,

n \geq 1

. Niech

P_k

będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem

o_{2k-1}

i wewnętrznym okręgiem

o_{2k}

. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni

P_k

, gdzie

k \geq 1

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Promień $n$ -tego okręgu: $r_n = \sqrt{11 - 2^{-n}}$

Schemat punktowania

1 pkt

postęp konieczny (pole pierwszego pierścienia).

2 pkt

istotny postęp (ciąg geometryczny z ilorazem $\frac{1}{4}$ ).

3 pkt

pokonanie zasadniczych trudności (zastosowanie wzoru na sumę szeregu).

4 pkt

pełne rozwiązanie.

Umiejętności w zadaniu

Szeregi geometryczne Ćwicz podobne

. Pole pierścienia

P_k

:

P_k = \pi r_{2k-1}^2 - \pi r_{2k}^2 = \pi(11 - 2^{-(2k-1)}) - \pi(11 - 2^{-2k}) = \pi(2^{-2k} - 2^{-(2k-1)}) = \pi \cdot 2^{-2k}(1 - 2) = -\pi \cdot 2^{-2k}

. Pola tworzą ciąg geometryczny z ilorazem

q = \frac{1}{4}

. Pierwszą pole:

P_1 = \pi(2^{-1} - 2^{-2}) = \pi \cdot \frac{1}{4}

. Suma:

S = \frac{\pi \cdot 2^{-9}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\pi \cdot 2^{-9}}{\frac{3}{4}} = \frac{4\pi \cdot 2^{-9}}{3} = \frac{\pi \cdot 2^{-7}}{3} = \frac{\pi \cdot 2^{11}}{3}

(po przeliczeniu).