Zadanie 15, czerwiec 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$ . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

a) Wyznacz objętość

V

drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej

x

.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $V$ .

c) Oblicz tę wartość $x$ , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

a) Cztery pionowe belki mają długość $6 - 2x$ , cztery poziome (równoległe do płaszczyzny rysunku) mają długość $10 - 3x$ , cztery poziome (prostopadłe do płaszczyzny rysunku) mają długość $6 - x$ . Objętość: $V(x) = 4x^2(6-2x) + 4x^2(10-3x) + 4x^2(6-x) = 4x^2[(6-2x) + (10-3x) + (6-x)] = 4x^2(22-6x) = 8x^2(11-3x)$

Schemat punktowania

3 pkt

I etap:

1 pkt

zapisanie długości każdej z belek w zależności od $x$ : $6-2x$ , $10-3x$ , $6-x$

Komentarz

Akceptujemy również zapis $D_V = (0, \frac{10}{3})$ . Jeśli zdający pominie wyznaczenie dziedziny, ale funkcja objętości będzie prawidłowa, otrzymuje 2 pkt za pierwszą część i może otrzymać punkty za kolejne etapy.

Umiejętności w zadaniu

.

b) Z warunków geometrycznych: $x > 0$ , $6 - 2x \geq 0$ , $10 - 3x \geq 0$ . Stąd $0 < x \leq \frac{10}{3}$ , czyli $D_V = (0, \frac{10}{3}]$ .

c) $V'(x) = 8(2x(11-3x) + x^2(-3)) = 8(22x - 6x^2 - 3x^2) = 8(22x - 9x^2) = 8x(22 - 9x)$ . Miejsca zerowe: $x = 0$ lub $x = \frac{22}{9}$ . Dla $x \in (0, \frac{22}{9})$ pochodna jest dodatnia, dla $x \in (\frac{22}{9}, \frac{10}{3}]$ pochodna jest ujemna. Maksimum w $x = \frac{22}{9}$ . $V(\frac{22}{9}) = 8 \cdot (\frac{22}{9})^2 \cdot (11 - 3 \cdot \frac{22}{9}) = 8 \cdot \frac{484}{81} \cdot (11 - \frac{22}{3}) = 8 \cdot \frac{484}{81} \cdot \frac{11}{3} = \frac{42592}{243} = \frac{175}{243} \cdot 244.53... = 175 \frac{67}{243}$ (lub $\frac{42592}{243}$ ).

.

1 pkt

zapisanie objętości $V$ jako funkcji zmiennej $x$ : $V(x) = 8x^2(11-3x)$ .

1 pkt

wyznaczenie dziedziny funkcji $V$ : $D_V = (0, \frac{10}{3}]$ .

3 pkt

II etap:

1 pkt

wyznaczenie pochodnej: $V'(x) = 8x(22-9x)$ .

1 pkt

obliczenie miejsc zerowych pochodnej: $x=0$ , $x=\frac{22}{9}$ .

1 pkt

uzasadnienie, że funkcja $V$ osiąga największą wartość dla $x=\frac{22}{9}$ .

1 pkt

III etap: obliczenie największej objętości: $V(\frac{22}{9}) = \frac{42592}{243} = 175\frac{67}{243}$ .