Zadanie 13, czerwiec 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $ABC$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

leżą na osi

Oy

układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków

AB

,

BC

i

CA

w punktach – odpowiednio –

P = (0,10)

,

Q = (8,6)

i

R = (9,13)

. Oblicz współrzędne wierzchołków

A

,

B

i

C

tego trójkąta.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Współczynnik kierunkowy prostej $PR$ : $a_{PR} = \frac{13-10}{9-0} = \frac{1}{3}$

Schemat punktowania

1 pkt

obliczenie (zapisanie) współczynnika kierunkowego jednej z cięciw $PQ$ , $PR$ , $QR$ albo zapisanie, że odpowiednie wierzchołki leżą w równej odległości od punktów $P$ , $Q$

Komentarz

Można zastosować metodę symetralne cięciw lub metodę wyznaczenia równania okręgu wpisanego i stycznych do niego. Obie metody prowadzą do tego samego wyniku.

Umiejętności w zadaniu

. Środek cięciwy

PR

:

E = (\frac{9}{2}, \frac{23}{2})

. Symetralna cięciwy

PR

przechodzi przez punkt

E

i jest prostopadła do

PR

:

y = -3x + 25

. Przecina oś

Oy

w punkcie

B = (0, 25)

.

Współczynnik kierunkowy prostej $PQ$ : $a_{PQ} = \frac{6-10}{8-0} = -\frac{1}{2}$ . Środek cięciwy $PQ$ : $D = (4, 8)$ . Symetralna cięciwy $PQ$ : $y = 2x$ . Przecina oś $Oy$ w punkcie $A = (0, 0)$ .

Równanie prostej $AQ$ : $y = \frac{3}{4}x$ . Równanie prostej $BR$ : $y = -\frac{4}{3}x + 25$ . Punkt przecięcia: $\frac{3}{4}x = -\frac{4}{3}x + 25$ , stąd $x = 12$ i $y = 9$ , czyli $C = (12, 9)$ .

Odpowiedź: $A = (0, 0)$ , $B = (0, 25)$ , $C = (12, 9)$ .

,

R

.

2 pkt

zapisanie równania symetralnej co najmniej jednej spośród cięciw.

3 pkt

wyznaczenie współrzędnych wierzchołków leżących na osi $Oy$ albo obliczenie współrzędnych środka okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ .

4 pkt

zapisanie układu równań prowadzącego do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka $C$ .

5 pkt

wyznaczenie współrzędnych wszystkich wierzchołków trójkąta $ABC$ .