Matura z matematyki, czerwiec 2018

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 1

Niech $L = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 2$. Wtedy A. $L = 1$ B. $L = 2$ C. $L = 3$ D. $L = 4$

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 2

Okrąg o równaniu $(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 625$ jest styczny do okręgu o środku $S = (12, 5)$ i promieniu $r$. Wynika stąd, że A. $r = 5$ B. $r = 15$ C. $r = 10$ D. $r = 20$

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 3

Liczba $(\sqrt{2} - 1)^2 + (2 - \sqrt{2})^2$ jest równa A. $1$ B. $-1$ C. $3 - 2\sqrt{2}$ D. $2\sqrt{2} + 1$

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 4

Spośród poniżskich nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite. A. $|x + 3| < \frac{5}{2}$ B. $|x + 4| < \frac{5}{3}$ C. $|x + 3| < \frac{5}{4}$ D. $|x + 4| < \frac{5}{3}$

MatematykaCzerwiec 20182 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 1$, poprowadzonej w punkcie $A = \left(6, \frac{36}{5}\right)$ tego wykresu. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności…

MatematykaCzerwiec 20183 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 6

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest równość $BC^2 - AC^2 = AB \cdot AC$.

MatematykaCzerwiec 20183 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 7

Udowodnij, że dla dowolnego kąta $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ prawdziwa jest nierówność $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right) \cdot \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) < \frac{1}{4}$.

MatematykaCzerwiec 20183 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 8

Wykaż, że równanie $x^8 + 2x^4 = (x^2 + 1)^4 - 2x$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x = 1$.

MatematykaCzerwiec 20184 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru $\{0, 1, 3, 5, 7, 9\}$, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.

MatematykaCzerwiec 20184 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10

Dany jest rosnący ciąg geometryczny $(a, aq, aq^2)$, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz $aq$ tego ciągu.

MatematykaCzerwiec 20184 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(o_n)$ o równaniach $x^2 + y^2 = 11 - 2^{-n}$, $n \geq 1$. Niech $P_k$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznym okręgiem $o_{2k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_k$, gdzie…

MatematykaCzerwiec 20185 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12

Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość 10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD. Oblicz pole tego trapezu.

MatematykaCzerwiec 20185 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 13

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $ABC$ leżą na osi $Oy$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $AB$, $BC$ i $CA$ w punktach – odpowiednio – $P = (0,10)$, $Q = (8,6)$ i $R = (9,13)$. Oblicz współrzędne wierzchołków…

MatematykaCzerwiec 20186 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 14

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(3x^2 - mx + m + 1)(2x - 1) = 0$ ma dwa różne rozwiązania $x_1$, $x_2$ spełniające warunki: $x_1 \cdot x_2 \neq 0$ oraz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > 0$ i…

MatematykaCzerwiec 20187 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 15

a) Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$. b) Wyznacz dziedzinę funkcji $V$. c) Oblicz tę wartość $x$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą.…

• Materiał graficzny