Zadanie 6, czerwiec 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest równość $BC^2 - AC^2 = AB \cdot AC$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech $\angle ABC = \alpha$ , wtedy $\angle BAC = 2\alpha$ . Poprowadzić dwusieczną AD kąta BAC. Trójkąt ABD jest równoramienny (kąty ABD i BAD są równe $\alpha$ ), więc $AD = BD$

Schemat punktowania

1 pkt

istotny postęp (zapisanie jednej z proporcji z podobieństwa).

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności (zapisanie zależności tylko w zmiennych a, b, c).

3 pkt

pełne rozwiązanie.

Umiejętności w zadaniu

. Kąty trójkąta ABC odpowiadają kątom trójkąta DAC, stąd podobieństwo. Z proporcji

\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{AC}

i

\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{AD}

otrzymamy

AC^2 = BC \cdot CD

oraz

AC \cdot AD = AB \cdot CD

. Po wyznaczeniu

CD

z pierwszego i podstawieniu do drugiego oraz wykorzystaniu

AD = BD = BC - CD

otrzymamy tezę. Alternatywnie: zastosować twierdzenie sinusów i cosinusów.