Zadanie 7, czerwiec 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Udowodnij, że dla dowolnego kąta $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

prawdziwa jest nierówność

\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right) \cdot \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) < \frac{1}{4}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Mnożąc obie strony przez 2, otrzymujemy $2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) < \frac{1}{2}$

Schemat punktowania

1 pkt

istotny postęp (przekształcenie nierówności lub uzasadnienie monotoniczności).

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności (doprowadzenie do prostszej nierówności).

3 pkt

pełne rozwiązanie.

Umiejętności w zadaniu

Wzory na sumę kątów i kąt podwojony Ćwicz podobne

. Stosując wzory na sinus różnicy i cosinus sumy, przekształcamy do

\sin 2\alpha > 0

, co jest prawdziwe dla

\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

. Alternatywnie: pokazać, że

\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right) < \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)

i

\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) < \cos\frac{\pi}{12}

, stąd iloczyn jest mniejszy niż

\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{8} < \frac{1}{4}

.