Zadanie 8, dodatkowa 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5 - n^3 - n + 3$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest podzielne przez

16

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób:

Zapisujemy: $n^5 - n^3 - n + 3 = n^4(n-1) - 3(n-1) = (n-1)(n^4 - 3)$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie wyrażenia w postaci $(n-1) \cdot 16 \cdot (...) + 16 \cdot 3$ lub innej postaci iloczynu zawierającego czynnik $16$

Komentarz

Dla liczby nieparzystej $n$ wiele iloczynów naturalne wynika z rozkładu na czynniki zawierające kolejne liczby parzyste. Alternatywnie: podstawić $n = 2k+1$ i algebraicznie uprościć.

Umiejętności w zadaniu

Dowody podzielności i reszt Ćwicz podobne

$= (n-1)(n^2-1)(n^2+1) - 3 = (n-1)(n+1)(n-1)(n^2+1) - 3$ ...

Albo inaczej: $n^5 - n^3 - n + 3 = (n-1)(n^4 + n^3 - 3) = ...$

Lepiej: $n^5 - n^3 - n + 3 = n^4 \cdot n - n^3 - n + 3 = n^4(n-1) - (n^3 + n - 3)$ ...

Od klucza (I sposób): $(n-1)(n+1)^2(n^2+1) - 16 \cdot 3 = 16(n-1)(n+1)(n-1)(n^2+1) - 16 \cdot 3$ (nieprecyzyjne).

Z klucza oto rozkład:

$n^5 - n^3 - n + 3 = (n-1)n^4 - 3(n-1) = (n-1)(n^4 - 3)$

$= (n-1)[(n^2-1)(n^2+1) - 2] = (n-1)(n-1)(n+1)(n^2+1) - 2(n-1)$ ...

Klucz pisze: liczba $n$ nieparzysta, więc liczby $(n-1)$ , $(n+1)$ , $(n-1)$ , $(n^2-3)$ są parzyste, zatem iloczyn podzielny przez $2^4 = 16$ .

II sposób (z klucza):

Jeśli $n = 2k+1$ , to $n^5 - n^3 - n + 3 = (2k+1)^5 - (2k+1)^3 - (2k+1) + 3$

Po przekształceniu: $= 16(2k^5 + 5k^4 + 5k^3 + k^2 + 1)$ , czyli podzielne przez $16$ .

, lub podstawienie

n = 2k+1

i przekształcenie co najmniej jednego wyrazu.

2 pkt

doprowadzenie do postaci $16 \cdot (...) + 16 \cdot 3$ lub równoważnej z iloczynem bez uzasadnienia podzielności.

3 pkt

pełne rozumowanie wykazujące podzielność przez $16$ .