Zadanie 14, dodatkowa 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest romb $ABCD$ . Przez wierzchołki $B$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

D

poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki

CD

i

AB

– odpowiednio – w punktach

M

i

N

, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury

AND

,

NBMD

,

BCM

o równych polach. Ponadto wiadomo, że

MB=ND=BD=m

(zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przyjąć długość boku rombu $a$ . Przekątna $BD$ dzieli romb na dwa trójkąty równych pól.

Trójkąty $AND$ i $BDN$ mają równą wysokość z wierzchołka $D$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie, że stosunek pól trójkątów $AND$ i $BDN$ równy jest stosunkowi podstaw, lub zaznaczy wysokość $DF$ w trójkącie równoramiennym $NBD$ , lub zapisze układ równań do wyznaczenia

Komentarz

Warunek $MB = ND = BD$ pozwala ustalić, że trójkąty $NBD$ są równoramienne. Średnia trudność wymaga skombinowania informacji o równych polach trzech figur.

Umiejętności w zadaniu

, więc stosunek pól równy jest stosunkowi podstaw:

\frac{|AN|}{|NB|} = 2

.

Stąd $|AN| = \frac{2a}{3}$ i $|NB| = \frac{a}{3}$ .

Triangle $NBD$ jest równoramienny (bo $|NB| = |BD| = m$ lub z innych warunków). Spodek wysokości $F$ z $D$ na $NB$ to środek $NB$ .

$|FB| = \frac{a}{6}$ , stąd $|AF| = a - \frac{a}{6} = \frac{5a}{6}$ .

Z trójkąta prostokątnego $AFD$ : $\cos\alpha = \frac{|AF|}{|AD|} = \frac{\frac{5a}{6}}{a} = \frac{5}{6}$ .

Alternatywnie: zastosować twierdzenie cosinusów dla trójkątów $ABD$ i $AND$ .

|AN|

.

2 pkt

wyznaczenie $|AN| = \frac{2a}{3}$ (lub $|NB| = \frac{a}{3}$ ).

3 pkt

wyznaczenie $|FB| = \frac{a}{6}$ lub zapisanie definicji cosinusa w trójkącie $AFD$ .

4 pkt

wyznaczenie $|FB|$ i użycie definicji cosinusa.

5 pkt

rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym.

6 pkt

pełne rozwiązanie: $\cos\alpha = \frac{5}{6}$ .