Zadanie 7, dodatkowa 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty $A$ , $B$ , $C$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

D

. Wykaż, że jeżeli

\angle ACB = \angle ADB

, to

\angle BAC = \angle BDC

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób:

Niech $|AB| = a$ , $\angle ACB = \angle ADB = \alpha$ , $r_1$

Schemat punktowania

1 pkt

istotny postęp: wykazanie, że promienie okręgów opisanych na trójkątach $ACB$ i $ADB$ są równe.

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności: uzasadnienie, że na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

3 pkt

Komentarz

Można stosować zarówno podejście wykorzystujące promienie okręgów opisanych (I sposób), jak i miejsce geometryczne punktów (II sposób). Obie drogi prowadzą do wniosku, że czworokąt jest wpisany w okrąg.

Umiejętności w zadaniu

Kąty wpisane i środkowe Ćwicz podobne

– promień okręgu opisanego na trójkącie

ACB

,

r_2

– promień okręgu opisanego na trójkącie

ADB

.

Z twierdzenia sinusów: $a = 2r_1 \sin \alpha$ i $a = 2r_2 \sin \alpha$ , stąd $r_1 = r_2$ .

Ponieważ $AB$ jest wspólnym bokiem, środki okręgów leżą na symetralnej $AB$ . Czworokąt $ABCD$ jest wypukły, więc $C$ i $D$ leżą po tej samej stronie prostej $AB$ . Zatem okręgi się pokrywają — okrąg opisany na czworokącie $ABCD$ .

Kąty $\angle BAC$ i $\angle BDC$ to kąty wpisane oparte na tym samym łuku $BC$ , więc są równe.

II sposób:

Miejscem geometrycznym punktów, z których odcinek $AB$ widać pod kątem $\alpha = \angle ACB = \angle ADB$ , jest suma łuków okręgów (bez końców) mających $AB$ za wspólną cięciwę. Ponieważ czworokąt jest wypukły, punkty $C$ i $D$ leżą na jednym z tych łuków — na okręgu opisanym na czworokącie $ABCD$ . Zatem $\angle BAC = \angle BDC$ jako kąty wpisane oparte na łuku $BC$ .

rozwiązanie pełne: uzasadnienie, że kąty $\angle BAC$ i $\angle BDC$ są równe.