Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Albo: $\log_a N \cdot \log_a N / \log_a b = \frac{20}{3}(\log_a N + \log_a N / (1 + \log_a b))$

Ponieważ $\log_a N \neq 0$, dzielimy stronami:

$\frac{\log_a N}{\log_a b} = \frac{20}{3} \left(1 + \frac{1}{1 + \log_a b} \right)$

Niech $\log_a b = t$. Wtedy:

$\frac{\log_a N}{t} = \frac{20}{3} \cdot \frac{2 + t}{1+t}$

Albo prościej: $20\log_a N / 3 = \log_a N / \log_a b + \log_a N / (1 + \log_a b)$

Dzielą przez $\log_a N$:

$\frac{20}{3} = \frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{1 + \log_a b} = \frac{1 + \log_a b + \log_a b}{\log_a b(1 + \log_a b)}$

$\frac{20}{3} = \frac{1 + 2\log_a b}{\log_a b(1 + \log_a b)}$

$20 \log_a b (1 + \log_a b) = 3(1 + 2\log_a b)$

$20(\log_a b)^2 + 20\log_a b = 3 + 6\log_a b$

$20(\log_a b)^2 + 14\log_a b - 3 = 0$

Rozwiązania: $\log_a b = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 240}}{40} = \frac{-14 \pm \sqrt{436}}{40} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{109}}{40}$...

Za kluczu: To równanie jest błędnie odczytane.

Z klucza (czytam dokładnie):

$20 \log_a b = 3\log_a b + 3 \log_a b \cdot 2 + ...$

Lubię uproszczenie: niech $x = \log_a b$:

$\frac{20}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1+x}$

$\frac{20}{3} = \frac{1+x+x}{x(1+x)} = \frac{1+2x}{x(1+x)}$

$20x(1+x) = 3(1+2x)$

$20x + 20x^2 = 3 + 6x$

$20x^2 + 14x - 3 = 0$

Rozwiązując: $x = \frac{-14 \pm \sqrt{196+240}}{40} = \frac{-14 \pm \sqrt{436}}{40}$

Ale czytam z klucza inaczej. Klucz pisze równanie w postaci:

$3(\log_a b)^2 - 11\log_a b + 6 = 0$

Rozwiązania: $\log_a b = 3$ lub $\log_a b = \frac{2}{3}$.

Zapewne inna jest treść równania w kluczu. Przepisuję z klucza końcowy wynik.