Zadanie 9, dodatkowa 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie $4\sin^3 x + \sin 2x = 2\sin x \cdot (2\cos^2 x + 1)$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy:

$4\sin^3 x + 2\sin x \cos x = 4\sin x \cos^2 x + 2\sin x$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie równania w postaci iloczynu, np. $2\sin x(2\sin^2 x - 2\cos^2 x + \cos x - 1) = 0$

Komentarz

Przy dzieleniu przez $\sin x$ lub $(2\sin x - 1)$ bez komentarza otrzymać można co najwyżej 2 punkty. Należy zawsze sprawdzić przypadki zerowania się takich wyrażeń. Wynik podany bez okresowości (tylko przykładowe wartości) — maksymalnie 3 punkty.

Umiejętności w zadaniu

Równania trygonometryczne Ćwicz podobne

$4\sin^3 x - 4\sin x \cos^2 x + 2\sin x \cos x - 2\sin x = 0$

$2\sin x(2\sin^2 x - 2\cos^2 x + \cos x - 1) = 0$

Stąd: $\sin x = 0$ lub $2\sin^2 x - 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Upraszczeając drugie równanie i rozkładając:

$(\sin x - \cos x)(2\sin x - 1) = 0$

Cztery série rozwiązań:

$x = k\pi$ lub $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ lub $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

i brak dalszych błędów (lub błędy nieobjące całości).

2 pkt

zapisanie równania w postaci $(\sin x - \cos x)(2\sin x - 1) = 0$ lub równoważnej.

3 pkt

poprawne rozwiązanie dwóch spośród trzech głównych równań: $\sin x = 0$ , $2\sin x - 1 = 0$ , $\sin x = \cos x$ .

4 pkt

wszystkie cztery série rozwiązań: $x = k\pi$ , $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ , $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ , $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .